Detail předmětu

Maticový a tenzorový počet

FEKT-MPC-MATAk. rok: 2024/2025

Matice jako algebraická struktura. Operace s maticemi. Determinant. Matice v soustavách lineárních algebraických rovnic. Vektorový prostor, báze a dimenze. Transformace souřadnic. Součet a průnik vektorových prostorů. Lineární zobrazení vektorových prostorů a jeho maticové  vyjádření. Skalární součin, ortogonální průmět a prvek nejlepší aproximace. Problém vlastních hodnot. Spektrální vlastnosti (zejména samoadjungovaných) matic. Bilineární a kvadratické formy, definitnost kvadratických forem. Lineární formy a tenzory. Různé typy souřadnic.  Kovariantní, kontravariantní a smíšené tenzory. Operace s tenzory. Tenzorový antisymetrický vnější součin. Antilineární formy. Lorentzova transformace jako důsledek spektrálních vlastností matic. Maticová formulace kvantové mechaniky. Diracova notace. Bra a Ket vektory. Vlnové pakety jako vektory. Samoadjungovaný lineární operátor.  Schrodingerova rovnice. Princip neurčitosti a Heisenbergova relace. Multi-qubitové systémy a kvantová provázanost (entaglement). Einstein-Podolsky-Rosen experiment-paradox. Kvantové výpočty. Matice hustoty. Kvantová teleportace.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Vstupní znalosti

Je požadováno zvládnutí učiva předmětu Matematika 1. Absolvování předmětu Matematický seminář je doporučeno.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Semestrální zkouška je hodnocena maximálně 70 body. Ze cvičení je možné získat maximálně 30 bodů, z nichž 20 bodů připadá na písemné testy a 10 bodů na řešení dvou projektů, každý po 5 bodech. Zápočet získá každý student, který dosáhne ve cvičení nejméně 10 bodů. V oddůvodněných případech může cvičící udělit zápočet i při nesplnění této podmínky.Zkouška může probíhat prezenčně nebo distančně. Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Učební cíle

Zvládnout základy maticového a tenzorového počtu a jejich aplikace.
Student si připomene a zdokonalí se v

- řešení soustav lineárních rovnic
- výpočtu determinantů vyšších řádů různými metodami
- používání různých maticových operací

Student se dále naučí

- stanovit bázi a dimenzi vektorového prostoru
- vyjadřovat vektory v různých bázích a přepočítávat jejich souřadnice
- vypočítat průnik a součet vektorových prostorů
- spočítat ortogonální průmět vektoru do podporstoru
- najít matici ortogonální projekce
- stanovit ortogonální doplněk vektorového podprostoru
- vypočítat vlastní hodnoty a vektory čtvercové matice
- nalézt spektrální reprezentaci samoadjungované matice
- určit typ kuželosečky a kvadratické plochy
- stanovit definitnost kvadratické formy
- vyjadřovat tenzory v různých bázích
- počítat různé typy tenzorových součinů
- používat maticovou reprezentaci pro vybrané kvantové veličiny a výpočty

Základní literatura

Kolman, B., Elementary Linear Algebra, Macmillan Publ. Comp., New York, ISBN 978-0029463703, 1986. (EN)
Kolman, B., Hill, D. R., Introductory Linear Algebra, Pearson, New York, 978-8131723227, 2008. (EN)
Kovár, M., Maticový a tenzorový počet, Skriptum, Brno, 2013, 220s. (CS)
Kovár, M., Selected Topics on Multilinear Algebra with Applications, Skriptum, Brno, 2015, 141s. (EN)

Doporučená literatura

Crandal, R. E., Mathematica for the Sciences, Addison-Wesley, Redwood City, ISBN 978-0201510010, 1991. (EN)
Davis, H. T., Thomson K. T., Linear Algebra and Linear Operators in Engineering, Academic Press, San Diego, ISBN 978-0122063497, 2007. (EN)
Demlová, M., Nagy, J., Algebra, STNL, Praha 1982. (CS)
Havel, V., Holenda J.: Lineární algebra, SNTL, Praha 1984. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program MPC-EEN magisterský navazující, libovolný ročník, letní semestr, volitelný
  • Program MPC-EAK magisterský navazující, libovolný ročník, letní semestr, volitelný

  • Program MITAI magisterský navazující

    specializace NBIO , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NISD , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NISY , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NISY do 2020/21 , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NIDE , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NCPS , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NSEC , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NMAT , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NGRI , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NNET , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NVIZ , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NSEN , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NMAL , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NVER , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NEMB , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NEMB do 2023/24 , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NADE , libovolný ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NSPE , libovolný ročník, letní semestr, volitelný

  • Program MPC-AUD magisterský navazující

    specializace AUDM-TECH , 1. ročník, letní semestr, povinně volitelný
    specializace AUDM-ZVUK , 1. ročník, letní semestr, povinně volitelný

  • Program MPC-BIO magisterský navazující, 1. ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program MPC-EKT magisterský navazující, 1. ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program MPC-EVM magisterský navazující, 1. ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program MPC-IBE magisterský navazující, 1. ročník, letní semestr, povinný

  • Program MITAI magisterský navazující

    specializace NHPC , 1. ročník, letní semestr, povinný

  • Program MPC-MEL magisterský navazující, 1. ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program MPC-SVE magisterský navazující, 1. ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program MPC-TIT magisterský navazující, 1. ročník, letní semestr, povinně volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Osnova

Matice a maticové operace. Determinat. Soustavy lineárních rovnic. Vektorové prostory, báze, dimenze transformace souřadnic. Operace s vektorovými prostory - součet, průnik a lineární zobrazení. Skalární součin, ortogonální průmět a prvek nejlepší aproximace. Problém vlastních hodnot. Spektrální vlastnosti matic. Bilineární a kvadratické formy, definitnost kvadratických forem. Lineární formy a tenzory. Různé typy tenzorů a souřadnic. Operace s tenzory - tenzorový a vnější součin. Fyzikální aplikace - Lorentzova transformace, maticová kvantová mechanika.

Cvičení s počítačovou podporou

18 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Osnova

Matice a maticové operace. Determinat. Soustavy lineárních rovnic. Vektorové prostory, báze, dimenze transformace souřadnic. Operace s vektorovými prostory - součet, průnik a lineární zobrazení. Skalární součin, ortogonální průmět a prvek nejlepší aproximace. Problém vlastních hodnot. Spektrální vlastnosti matic. Bilineární a kvadratické formy, definitnost kvadratických forem. Lineární formy a tenzory. Různé typy tenzorů a souřadnic. Operace s tenzory - tenzorový a vnější součin.

Projekt

8 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Osnova

Dva projekty na vybraná témata z aplikované matematiky, každý po 5 bodech.