Detail předmětu

Matematika 1

FAST-BA001Ak. rok: 2024/2025

Reálná funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita a spojitost funkce. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, základní věty o derivacích, derivace vyšších řádů, diferenciály funkce, Taylorův rozvoj funkce, průběh funkce.
Lineární algebra (základy maticového počtu, hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, inverze matic, determinanty a jejich aplikace). Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Základy vektorového počtu. Lineární prostory. Analytická geometrie (skalární, vektorový a smíšený součin vektorů, afinní a metrické úlohy pro lineární útvary v prostoru).
Základní numerické metody (interpolace, řešení nelineární rovnice a systémů lineárních rovnic, derivování).

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

Garant předmětu

doc. Mgr. Irena Hinterleitner, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Vstupní znalosti

Základní znalosti z matematiky v rozsahu střední školy. Grafy základních elementárních funkcí (mocniny a odmocniny, kvadratická funkce, přímá a nepřímá úměra, absolutní hodnota, goniometrické funkce) a základní vlastnosti těchto funkcí. Umět provádět úpravy algebraických výrazů. Znát pojem geometrického vektoru a základy analytické geometrie v rovině. Umět určovat typy a základní prvky kuželoseček, kreslit jejich grafy.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Učební cíle

Pochopit základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Zvládnout derivování a naučit se řešit úlohu průběhu funkce.
Schopnost počítat s maticemi, umět provádět elementární úpravy a vyčíslení determinantů, umět řešit soustavy lineárních algebraických rovnic, zvládnout Gaussovu eliminační metodu řešení soustav.
Student zvládne hlavní cíle předmětu. Pochopí základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Zvládne kalkul derivování a naučí se řešit úlohu průběhu funkce.
Zvládne počítání s maticemi, elementární úpravy a vyčíslení determinantů, řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (Gaussovou eliminační metodou, Cramerovým pravidlem a užitím inverzní matice). Seznámí se s užitím vektorového počtu v řešení úloh analytické geometrie v prostoru.

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Irena Hinterleitner, Ph.D.

Osnova

1. Reálná funkce jedné reálné proměnné, explicitní a parametrické zadání funkce. Složená a inverzní funkce. 2. Některé elementární funkce, cyklometrické funkce. Hyperbolické funkce. Polynom a jeho základní kořenové vlastnosti, rozklad polynomu v reálném oboru. 3. Racionální funkce. Posloupnost a její limita. 4. Limita a spojitost funkce, základní věty. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, pravidla pro derivování. 5. Derivace složené a inverzní funkce. Diferenciál funkce. Rolleova a Lagrangeova věta. 6. Derivace vyšších řádů, diferenciály vyšších řádů. Taylorova věta. 7. L`Hospitalovo pravidlo. Asymptoty grafu funkce. Průběh funkce. 8. Základy maticového počtu, elementární úpravy matice, hodnost matice. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou. 9. Determinanty druhého řádu. Definice determinantů vyšších řádů pomocí Laplaceova rozvoje. Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic. 10. Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu. Maticové rovnice. Reálný lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru. Lineární prostory aritmetických a geometrických vektorů. 11. Vlastní čísla a vektory matice. Souřadnice vektoru. Skalární a vektorový součin vektorů, počítání v souřadnicích. 12. Smíšený součin vektorů. Rovina a přímka v prostoru, úlohy polohy. 13. Úlohy metrické. Plochy.

Cvičení

39 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Irena Hinterleitner, Ph.D.

Osnova

1. Absolutní hodnota funkce. Řešení kvadratické rovnice v komplexním oboru. Kuželosečky. Grafy vybraných typů elementárních funkcí. Základní vlastnosti funkcí. 2. Funkce složená a inverzní (cyklometrické funkce, logaritmické funkce). Funkce zadané parametricky. Numerické řešení nelineární rovnice (bisekce, regula falsi). 3. Polynom, znaménko polynomu. Interpolační polynom, Lagrangeův a Newtonův tvar. 4. Racionální funkce, znaménko racionální funkce, rozklad v parciální zlomky. 5. Limita funkce. Derivace funkce (výpočet z definice) a její geometrický význam, procvičení základních vzorců a pravidel pro derivování. 6. Derivace složené funkce. Procvičování základních vzorců a pravidel pro derivování. Numerické derivování. 7. Test I. Derivace vyšších řádů. Taylorova věta. L` Hospitalovo pravidlo. Řešení nelineární rovnice (metoda tečen a sečen). 8. Asymptoty grafu funkce. Průběh funkce. 9. Základní operace s maticemi. Elementární úpravy matice, hodnost matice, řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou. Numerické řešení soustav lineárních algebraických rovnic (výběr hlavního prvku, LU rozklad). 10. Výpočet determinantů užitím Laplaceova rozvoje a pravidel pro počítání s determinanty. Výpočet inverzní matice pro matice 2. a 3. řádu Jordanovou metodou. Iterační metody řešení soustav (Jacobiova, Gaussova-Seidelova). 11. Test II. Maticové rovnice. Řešení přeurčených soustav lineárních algebraických rovnic metodou nejmenších čtverců. Vlastní čísla a vektory matice. 12. Použití skalárního a vektorového součinu při řešení úloh analytické geometrie v prostoru. 13. Smíšený součin. Zápočty.