Detail předmětu
Základy variačního počtu
FAST-NAB018Ak. rok: 2024/2025
Základy variačních metod, aplikace na řešení diferenciálních rovnic.
Jazyk výuky
čeština
Počet kreditů
5
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)
Vstupní znalosti
Základní kurzy matematiky v BSP.
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Učební cíle
Seznámit studenty se základními pojmy funkcionální analýzy, které jsou potřebné pro pochopení základních principů variačního počtu a numerického řešení počátečních a okrajových úloh.
Studenti získají přehled o pokročilých metodách analýzy (základy funkcionální analýzy, derivace funkcionálu, věty o pevných bodech),
metodách variačního počtu a o některých metodách numerického řešení úloh pro parciální diferenciální rovnice.
Studenti získají přehled o pokročilých metodách analýzy (základy funkcionální analýzy, derivace funkcionálu, věty o pevných bodech),
metodách variačního počtu a o některých metodách numerického řešení úloh pro parciální diferenciální rovnice.
Základní literatura
BOUCHALA J.: Variační metody. VŠB-TU Ostrava 2012 (CS)
Zařazení předmětu ve studijních plánech
- Program NPC-SIV magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor
Osnova
- 1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
- 2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
- 3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
- 4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
- 5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
- 6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
- 7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
- 8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
- 9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
- 10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
- 11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
- 12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
- 13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
- 14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.
Cvičení
26 hod., povinná
Vyučující / Lektor
Osnova
Navazuje přímo na jednotlivé přednášky.
- 1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
- 2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
- 3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
- 4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
- 5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
- 6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
- 7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
- 8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
- 9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
- 10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
- 11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
- 12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
- 13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
- 14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.