Detail předmětu

Matematika 3

FAST-BAA003Ak. rok: 2025/2026

Dvojný a trojný integrál. Jejich výpočet, transformace, fyzikální a geometrický význam.
Křivkový integrál ve skalárním poli, jeho výpočet a aplikace. Divergence a rotace vektorového pole. Křivkový integrál ve vektorovém poli, jeho výpočet a aplikace. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Greenova věta.
Existence a jednoznačnost řešení diferenciální rovnice 1. řádu, řešení vybraných typů diferenciálních rovnic 1. řádu. Homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice se speciální pravou stranou. Metoda variace konstant.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

Garant předmětu

doc. Ing. Vladislav Kozák, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Nabízen zahraničním studentům

Všech fakult

Vstupní znalosti

Ovládat elementární pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné a více reálných proměnných (derivace, parciální derivace, limita a spojitost, grafy funkcí). Umět řešit integrály funkce jedné reálné proměnné, znát jejich základní aplikace.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Učební cíle

Seznámit se s dvojnými a trojnými integrály a jejich základními aplikacemi, zvládnout počítání těchto integrálů pomocí Fubiniových vět a standardních transformací.
Seznámit se s křivkovými integrály ve skalárním a vektorovém poli a jejich aplikacemi. Zvládnout výpočet jednoduchých křivkových integrálů.
Seznámit se s vybranými diferenciálními rovnicemi (DR) prvního řádu, problematikou existence a jednoznačnosti řešení DR. Naučit se analyticky řešit DR separovanou, lineární, homogenní prvního řádu, exaktní. Zvládnout kalkul řešení nehomogenní lineární DR n-tého řádu se speciální pravou stranou i obecnou metodu variace konstant. Pochopit strukturu řešení nehomogenních lineárních DR n-tého řádu.
Znalost dvojných a trojných integrálů, jejich výpočtu a základních aplikací. Znalost křivkových integrálů ve skalárním a vektorovém poli, jejich výpočtu a základních aplikací. Znalost problematiky existence a jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic 1. řádu v explicitním tvaru. Znalost elementárních metod řešení separované, lineární a exaktní diferenciální rovnice 1. řádu a lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu.

Základní literatura

Eliáš, J., Horváth, J., Kajan, J., Śulka, R., Zbierka úloh z vzššej matamatiky 3 a 4, Alfa Bratislava 1979. (SK)
Jirásek, F., Čipera, S., Vacek, M.,Sbírka řešených příkladů z matematiky II, SNTL Praha 1986. (CS)

Doporučená literatura

Škrášek, J., Tichý Z., Základy aplikované matematiky II, Praha SNTL 1986. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BPA-SI bakalářský 2 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program BPC-SI bakalářský

    specializace VS , 2 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program BPC-EVB bakalářský 2 ročník, zimní semestr, povinný
  • Program BKC-SI bakalářský 2 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Vladislav Kozák, CSc.

Osnova

  • 1. Dvojný integrál, výpočet, vlastnosti.
  • 2. Transformace a aplikace dvojného integrálu.
  • 3. Trojný integrál, výpočet, vlastnosti.
  • 4. Transformace a aplikace trojného integrálu.
  • 5. Pojem křivky. Křivkový integrál ve skalárním poli.
  • 6. Vektorové pole, divergence, rotace. Křivkový integrál ve vektorovém poli.
  • 7. Aplikace, práce, cirkulace. Greenova věta a její aplikace.
  • 8. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Potenciál.
  • 9. Základní pojmy z obyčejných diferenciálních rovnic.
  • 10. Rovnice prvního řádu - separovaná, lineární, exaktní.
  • 11. Homogenní lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, nezávislost řešení, wronskián.
  • 12. Řešení nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou.
  • 13. Metoda variace konstant. Aplikace diferenciálních rovnic v technické praxi.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Vladislav Kozák, CSc.

Osnova

  • 1. Opakování kvadrik a integrování.
  • 2. Výpočet dvojného integrálu.
  • 3. Transformace dvojného integrálu.
  • 4. Aplikace dvojného integrálu.
  • 5. Výpočet trojného integrálu.
  • 6. Transformace a aplikace trojného integrálu, hmotnost, objem.
  • 7. Výpočet křivkového integrálu ve skalárním poli, aplikace.
  • 8. Výpočet křivkového integrálu ve vektorovém poli.
  • 9. Greenova věta. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Výpočet potenciálu.
  • 10. Diferenciální rovnice 1. řádu, separovaná, lineární.
  • 11. Exaktní rovnice. Homogenní lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty.
  • 12. Řešení nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou.
  • 13. Metoda variace konstant. Zápočet.