Detail předmětu

Vector and Matrix Algebra

FEKT-BPA-VMPAk. rok: 2025/2026

V části maticového počtu je pozornost zaměřena na vektorové prostory, základní pojmy, lineární kombinace vektorů,lineární závislost,nezávislost vektorů, báze, dimenze vektorového prostoru, maticovou algebru, vlastní čísla a vlastní vektory, maticové funkce a jejich aplikace.
V části numerických metody se probírá řešení nelineárních rovnic a maticových soustav lineárních rovnic, aproximace funkcí pomocí interpolačního polynomu, splajnu a metodou nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. RNDr. Michal Novák, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Nabízen zahraničním studentům

Všech fakult

Vstupní znalosti

Student by měl být schopen aplikovat znalosti vektorového počtu v reálném a komplexním oboru na úrovni střední školy.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Práce během semestru je hodnocena nejvýše 30 body, které lze získat za jeden test psaný na konci semestru. Závěrečná zkouška je hodnocena maximálně 70 body.

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy vektorového a maticového počtu v reálném i komplexním oboru a základními numerickými metodami řešení systémů rovnic.
- rozhodnout, zda vektory jsou lineárně nezávislé a zda tvoří bázi vektorového prostoru ( v reálném i komplexním oboru), Skalární součin ,ortogonalizace, ortogonální projekce.
- sčítat a násobit matice, spočítat determinant čtvercové matice do řádu 4x4, spočítat hodnost matice a inverzní matici
- vyřešit soustavu lineárních rovnic
- vypočítat vlastní čísla a vektory matice
- analyzovat typ matice (definitnost) pomocí vlastních čísel
- vypočítat exponenciálu matice pro jisté třídy matic
- najít kořen rovnice f(x)=0 metodou půlení intervalů, Newtonovou metodou, metodou prosté iterace, popsat tyto metody včetně podmínek konvergence
- řešit soustavu lineárních rovnic Gaussovou eliminací s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gauss-Seidelovou iterační metodou a diskutovat výhody a nevýhody těchto metod
- aproximovat funkci pomocí splajnu (lineárního nebo kubického)
- funkci zadanou tabulkou bodů aproximovat metodou nejmenších čtverců pomocí přímky, případně paraboly nebo exponenciály
- vypočítat přibližnou hodnotu 1. nebo 2. derivace zadané funkce v zadaném bodě
- vypočítat přibližnou hodnotu určitého integrálu lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou, popsat princip těchto metod, porovnat je z hlediska přesnosti

Základní literatura

HEFFERON, J., Linear Algebra (EN)
M. Novák, Linear Algebra and Related Issues, Brno, VUT, 2022 (EN)
NOVÁK M., Mathematics 3 (Numerical methods: Excercise book), 2014, FEEC BUT 2014 (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BPA-ELE bakalářský

    specializace BPA-ECT , 1 ročník, zimní semestr, povinný
    specializace BPA-PSA , 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Michal Novák, Ph.D.

Osnova

1. Vektory, vektorové prostory.
2. Matice, algebra matic, determinant matice.
3. Systémy lineárních rovnic.
4. Vlastní čísla a vektory matice.
5. Ortogonalizace, ortogonální projekce.
6. Hermitovské a unitární matice.
7. Definitnost matic, charakteristika pomocí vlastních čísel.
8. Maticové funkce, exponenciála matice, aplikace.
9. Úvod do numerických metod. Numerické řešení nelineárních rovnic (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda prosté iterace).
10. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic. Soustavy lineárních rovnic (Gaussova eliminace s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gaussova-Seidelova iterační metoda).
11. Interpolace: interpolační polynom (Lagrangeův a Newtonův), splajny (lineární a kubický).
12. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování.
13. Numerické integrování.

Cvičení odborného základu

12 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Michal Novák, Ph.D.

Cvičení na počítači

14 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Michal Novák, Ph.D.