Detail předmětu
Matematika 2
FEKT-BPC-MA2AAk. rok: 2025/2026
Diferenciální počet funkcí více proměnných, definiční obor, limita, spojitost, parciální a směrové derivace, gradient, diferenciál, tečná rovina, funkce zadaná implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice, existence a jednoznačnost řešení, rovnice prvního řádu se separovanými proměnnými a lineární rovnice prvního řádu, rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Analýza v komplexním oboru, holomorfní funkce, derivace, parametrizace křivky, křivkový integrál, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec, Laurentova řada, singulární body, rezidua, reziduová věta. Laplaceova transformace, přímá a zpětná, řešení diferenciální rovnice s počátečními podmínkami. Signály a impulsy, speciální a zobecněné funkce, Laplaceovy obrazy signálů s konečnými impulsy. Fourierovy řady periodických funkcí, ortogonální systém funkcí, trigonometrický systém funkcí, Fourierova řada v komplexním tvaru. Fourierova transformace, přímá a zpětná, Fourierovy obrazy speciálních funkcí. Z-transformace, přímá a zpětná, řešení diferenční rovnice s počátečními podmínkami.
Jazyk výuky
Počet kreditů
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Podmínkou udělení zkoušky je zisk alespoň 50 bodů z celkových 100 možných (30 lze získat za práci v semestru, 70 lze získat u závěrečné písemné zkoušky.
Cvičení odborného základu (tj. numerická cvičení) a cvičení s počítačovou podporou jsou povinná. Každou neúčast je nutné řádně omluvit a probranou látku dostudovat.
Učební cíle
Studenti by po absolvování předmětu měli znát základní pojmy a odpovídající souvislosti, dále pak:
- umět najít a znázornit definiční obor funkce dvou proměnných;
- spočítat parciální derivace libovolného řádu u libovolné (i implicitně zadané) funkce více proměnných;
- najít tečnou rovinu k ploše zadané pomocí funkce dvou proměnných;
- řešit separované a lineární diferenciální rovnice prvního řádu;
- vyřešit klasickým způsobem diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty včetně speciální pravé strany;
- rozložit komplexní funkci na reálnou a imaginární složku a určit funkční hodnoty komplexních funkcí;
- najít druhou složku komplexní holomorfní funkce a určit tuto funkci v komplexní proměnné včetně její derivace;
- spočítat integrál z komplexní funkce přes křivku pomocí parametrizace křivky, Cauchyho věty nebo Cauchyho vzorce;
- umět najít singulární body komplexní funkce a spočítat jejich rezidua;
- spočítat integrál z komplexní funkce pomocí reziduové věty;
- vyřešit pomocí Laplaceovy transformace diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty;
- najít Fourierovu řadu periodické funkce;
- vyřešit pomocí Z-transformace diferenční rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty
Základní literatura
Svoboda, Z., Vítovec, J.: Matematika 2, FEKT VUT v Brně, 2014, s. 1-189. (CS)
Zařazení předmětu ve studijních plánech
Typ (způsob) výuky
Přednáška
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Definiční obor, limita, spojitost, parciální a směrové derivace, gradient, diferenciál, tečná rovina, funkce zadaná implicitně.
2. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu. Základní pojmy, existence a jednoznačnost řešení, geometrická interpretace rovnice, rovnice se separovanými proměnnými a lineární rovnice.
3. Obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu. Základní pojmy, lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty včetně speciální pravé strany.
4. Úvod do komplexní analýzy. Komplexní čísla a základní operace v komplexním oboru, důležité množiny komplexní roviny.5. Komplexní funkce, její limita, spojitost a derivace. Speciální případy komplexních funkcí, algebraický rozklad funkce, elementární komplexní funkce, holomorfní funkce, Cauchy-Riemanovy podmínky, L'Hospitalovo pravidlo.
6. Integrální počet v komplexním oboru - I. část. Křivka v komplexní rovině, parametrizace známých křivek, integrál komplexní funkce po křivce, výpočet integrálu po křivce parametrizací křivky.
7. Integrální počet v komplexním oboru - II. část. Výpočet integrálu pomocí Cauchyho věty a Cauchyho vzorců.
8. Integrální počet v komplexním oboru - III. část. Laurentova řada, singulární body a jejich klasifikace, pojem rezidua a výpočet integrálu pomocí reziduové věty.
9. Přímá a zpětná Laplaceova transformace. Vlastnosti transformace, využití Laplaceovy transformace při řešení diferenciálních rovnic.
10. Signály a impulsy, speciální a zobecněné funkce. Konečné a Diracovy impulsy, Heavisideova funkce, jehlová funkce, zobecněná derivace, hledání Laplaceovvých obrazů jednoduchých signálů s konečnými impulsy.
11. Fourierovy řady periodických funkcí. Periodické funkce, nekonečný ortogonální systém funkcí, Fourierovy řady pro funkce se speciální i obecnou periodou, Fourierovy řady v komplexním tvaru.
12. Přímá a zpětná Fourierova transformace. Vlastnosti transformace, hledání Fourierových obrazů některých speciálních funkcí (signálů), využití Fourierovy transformace při řešení diferenciálních rovnic.
13. Přímá a zpětná Z-transformace. Vlastnosti transformace, diferenční rovnice a využití Z-transformace při řešení diferenčních rovnic.
Cvičení odborného základu
Vyučující / Lektor
Osnova
2. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu - I. část. Rovnice se separovanými proměnnými.
3. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu - II. část. Lineární rovnice.
4. Obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu. Rovnice s konstantními koeficienty včetně speciální pravé strany.
5. Úvod do komplexní analýzy. Komplexní čísla a základní operace s komplexními čísly, komplexní funkce a jejich algebraický rozklad včetně určování funkčních hodnot komplexních funkcí.
6. Derivace v komplexním oboru. Cauchy-Riemanovy podmínky a určování druhé složky holomorfní funkce.
7. Integrální počet v komplexním oboru - I. část. Křivka v komplexní rovině, parametrizace známých křivek, výpočet integrálu po křivce parametrizací křivky.
8. Integrální počet v komplexním oboru - II. část. Výpočet integrálu pomocí Cauchyho věty a Cauchyho vzorců.
9. Integrální počet v komplexním oboru - III. část. Singulární body a jejich klasifikace, rezidum funkce a výpočet integrálu pomocí reziduové věty.
10. Přímá a zpětná Laplaceova transformace. Vlastnosti transformace, využití Laplaceovy transformace při řešení diferenciálních rovnic.
11. Fourierovy řady periodických funkcí. Fourierovy řady pro funkce se speciální i obecnou periodou.
12. Přímá a zpětná Z-transformace. Vlastnosti transformace, diferenční rovnice a využití Z-transformace při řešení diferenčních rovnic.
Cvičení s počítačovou podporou
Vyučující / Lektor
Osnova