Detail předmětu

Vektorový a maticový počet

FEKT-BPC-VMPAk. rok: 2025/2026

V části vektorového počtu je pozornost zaměřena na vektorové prostory, základní pojmy, lineární kombinace vektorů,lineární závislost,nezávislost vektorů, báze, dimenze vektorového prostoru. Zavedení skalárního součinu umožňuje vysvětlit ortogonalizací vektorů a hledat ortogonální průmět vektoru na podprostor a aplikovat tyto znalosti přiřešení přeurčených systémů a metodě nejmenších čtverců. V části maticového počtu jsou studenti seznámeni s maticovou algebrou, jsou studovány vlastní čísla a vlastní vektory a jejich užití k diagonalizaci matic a výpočtu maticových funkcí a jejich aplikace se zaměřením na exponenciálu matice . Dále je diskutována definitnost matic.
V části numerických metod se probírá řešení nelineárních rovnic a maticových soustav lineárních rovnic, aproximace funkcí pomocí interpolačního polynomu, splajnu a metodou nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

Garant předmětu

doc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Vstupní znalosti

Student by měl být schopen aplikovat znalosti vektorového počtu v reálném oboru a počítat v komplexním oboru na úrovni střední školy. Podobně by měl umět používat základy matematické analýzy na úrovni střední školy

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Práce během semestru hodnocena maximálně 30 body (tyto body je možné získat za písemky, domácí úkoly). Dále je možné získat maximálně 10 prémiových bodů za prémiové domácí úkoly, doplňkové teoretické otázky a vyšší aktivitu ve cvičení.
Pro získání zápočtu student musí mít alespoň 10 bodů.
Závěrečná písemná zkouška je hodnocena maximálně 70 body. Skládá se z příkladů na prověření osvojení algoritmů a teoretických otázek (dohromady za 5 bodů z maticového počtu a 5 bodů z numerických metod).
Pro úspěšné složení zkoušky musí student získat aspoň 10 bodů z části Maticový počet a aspoň 10 bodů z části Numerické metody.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy vektorového a maticového počtu v reálném i komplexním oboru a základními numerickými metodami řešení systémů rovnic.

- rozhodnout, zda vektory jsou lineárně nezávislé a zda tvoří bázi vektorového prostoru ( v reálném i komplexním oboru)

- sčítat a násobit matice, spočítat determinant čtvercové matice do řádu 4x4, spočítat hodnost matice a inverzní matici- vyřešit soustavu lineárních rovnic- vypočítat vlastní čísla a vektory matice

- aplikovat Gramm-Schnidtův ortogonalizačni proces

- určit ortogonální projekci vektoru na podprostor (řešit sporné systémy)

- analyzovat definitnost matice a to i  pomocí  vlastních čísel

- vypočítat exponenciálu matice pro jisté třídy matic

- najít kořen rovnice f(x)=0 metodou půlení intervalů, Newtonovou metodou, metodou prosté iterace, popsat tyto metody včetně podmínek konvergence

- řešit soustavu lineárních rovnic Gaussovou eliminací s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gauss-Seidelovou iterační metodou a diskutovat výhody a nevýhody těchto metod

- aproximovat funkci pomocí splajnu (lineárního nebo kubického)

- funkci zadanou tabulkou bodů aproximovat metodou nejmenších čtverců pomocí přímky, případně paraboly nebo exponenciály

- vypočítat přibližnou hodnotu 1. nebo 2. derivace zadané funkce v zadaném bodě


- vypočítat přibližnou hodnotu určitého integrálu lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou, popsat princip těchto metod, porovnat je z hlediska přesnosti

Studijní opory

přednášky - slide,  Svoboda Z. Vektorový a maticový  počet - algoritmy a řešené příklady, elektronický text, Teoretické otázky, příklady

Základní literatura

M. Dont: Maticová analýza, skripta, nakl. ČVUT 2011 (CS)
FAJMON, B., HLAVIČKOVÁ, I., NOVÁK, M., Matematika 3. Elektronický text FEKT VUT, Brno, 2013 (CS)
SCHMIDTMAYER, J., Maticový počet a jeho použití v technice, SNTL Praha 1974 (CS)

Doporučená literatura

HRUZA, B., MRHAČOVÁ, H., Cvičení z algebry a geometrie. Ediční stř. VUT 1993, skriptum. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BPC-AMT bakalářský 1 ročník, zimní semestr, povinný
  • Program BPC-SEE bakalářský 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc.

Osnova

1. Vektory, vektorové prostory.
2. Matice, algebra matic, determinant matice.
3. Systémy lineárních rovnic.
4. Vlastní čísla a vektory matice.
5. Ortogonalizace, ortogonální projekce.
6. Hermitovské a unitární matice.
7. Definitnost matic, charakteristika pomocí vlastních čísel.
8. Maticové funkce, exponenciála matice, aplikace.
9. Úvod do numerických metod. Numerické řešení nelineárních rovnic (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda prosté iterace).
10. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic. Soustavy lineárních rovnic (Gaussova eliminace s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gaussova-Seidelova iterační metoda).
11. Interpolace: interpolační polynom (Lagrangeův a Newtonův), splajny (lineární a kubický).
12. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování.
13. Numerické integrování.

Cvičení odborného základu

12 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc.

Osnova

1. Vektory, matice,determinant matice.
2. Systémy lineárních rovnic. vlastní čísla a vektory matice.
3. Ortogonalizace, ortogonální projekce.
4. Definitnost matic, charakteristika pomocí vlastních čísel,maticové funkce, exponenciála matice, aplikace.
5.Numerické řešení lineárních a nelineárních rovnic. Numerické derivování a integrování.
6. Interpolace, metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování a integrování.

Cvičení s počítačovou podporou

14 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc.

Osnova

1. Vektory, matice,determinant matice.
2. Systémy lineárních rovnic. vlastní čísla a vektory matice.
3. Ortogonalizace, ortogonální projekce.
4. Definitnost matic, charakteristika pomocí vlastních čísel,maticové funkce, exponenciála matice, aplikace.
5.Numerické řešení lineárních a nelineárních rovnic.
6. Interpolace: interpolační polynom metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování.
7. Numerické derivování a integrování.