Detail předmětu

Pokročilé metody matematické analýzy

FSI-SDR-AAk. rok: 2025/2026

Předmět je věnován dvěma základním okruhům, které se částečně prolínají. Jednak jde o úvod do tzv. moderní teorie (parciálních) diferenciálních rovnic a s tím spojených pojmů jako jsou zobecněné funkce, Sobolevovy prostory, věty o vnoření, slabá a variační formulace úloh. Další část je věnována vybraným metodám nelineární analýzy. Jde zejména o topologické metody, monotónní metody a variační metody. Diskutují se též aplikace těchto metod na různé typy úloh. Zmiňují se i elementy diferenciálního počtu v normovaných lineárních prostorech. 

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Diferenciální počet, integrální počet, lineární algebra, obyčejné a parciální diferenciální rovnice, funkcionální analýza.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Zápočet: aktivní účast ve cvičeních (účast je povinná), úspěšné napsání testu.

Zkouška: Zkouška má ústní formu. Diskutována je teorie i příklady. Vyžaduje se orientace v probraných základních pojmech a principech a ilustrace teorie v konkrétních situacích.

Učební cíle

Cílem kurzu je podat posluchačům přehled moderních a pokročilých metod (založených převážně na poznatcích z funkcionální analýzy) vhodných zejména pro kvalitativní analýzu lineárních i nelineárních úloh pro diferenciální rovnice. Studenti též získají orientaci ve zobecněných formulacích (slabých a variačních) úloh.

Základní literatura

K. Deimling, Nonlinear functional analysis, Springer 1985. (EN)
L. C. Evans, Partial differential equations, American Mathematical Society 2010. (EN)
P. Drábek, J. Milota, Methods of nonlinear analysis, Birkhauser 2013. (EN)

Doporučená literatura

J. Franců, Moderní metody řešení parciálních diferenciálních rovnic, FSI VUT Brno 2019. (CS)
P. Řehák, Advanced methods in mathematical analysis, FME BUT Brno 2025. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-AIM-A magisterský navazující 2 ročník, letní semestr, povinný
  • Program N-MAI-A magisterský navazující 2 ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Osnova

Motivace.
Připomenutí vybraných základních pojmů funkcionální analýzy a teorie diferenciálních rovnic.
Zobecněné funkce a zobecněné derivace.
Sobolevovy prostory.
Věty o vnoření.
Stopy funkcí.
Slabá a variační formulace lineárních úloh.
Laxovo-Milgramovo lemma.
Diferenciální počet v normovaných lineárních prostorech.
Topologické metody (Brouwerova věta, Schauderova věta).
Aplikace vět o pevném bodu.
Teorie monotónních operátorů.
Aplikace monotónních metod.
Variační metody.
Aplikace variačních metod.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Osnova

Ilustrace pojmů z přednášek na příkladech. Aplikace teoretických výsledků
v konkrétních situacích a na vybraných rovnicích.