Detail předmětu

Numerické metody I

FSI-SN1Ak. rok: 2025/2026

Kurz Numerické metody I představuje první systematický výklad některých základních metod numerické matematiky jako samostatné vědní disciplíny. Získané znalosti jsou předpokladem pro úspěšné zvládnutí speciálních partií numerické matematiky, které přímo souvisejí s numerickým řešením inženýrských problémů.
Hlavní témata: Přímé a iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. Interpolace. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování a integrování. Řešení nelineárních rovnic. Zvládnutí probírané látky si studenti prokáží tak, že samostatně zpracují semestrální projekt.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných. Základy lineární algebry. Základy programování v MATLABu.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

PODMÍNKY PRO UDĚLENÍ ZÁPOČTU: Účast ve cvičeních, zpracování projektů a úkolů zadaných ve cvičeních, ve kterých studenti zúročí poznatky získané na přednáškách. Získání minimálně poloviny z možných 30 bodů ve vědomostním zápočtovém testu a v testu s využitím programů vytvořených ve cvičeních.
ZKOUŠKA se skládá z písemné (max. 75 bodů) a ústní části (max.25 bodů). Za zkoušku student obdrží 0 až 100 bodů.
CELKOVÉ HODNOCENÍ na základě bodů získaných u zkoušky: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).


Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.

Učební cíle

Cílem předmětu Numerické metody I je seznámit studenty se základními numerickými metodami. V tomto kurzu se rovněž klade značný důraz na počítačovou realizaci jednotlivých metod. Studenti by měli pochopit podstatu metod a znát jejich přednosti a nedostatky. Pozornost je rovněž věnována otázkám stability a podmíněnosti jednotlivých numerických úloh. Důležitou součástí předmětu je samostatná práce na zadaných projektech.
Předmět Numerické metody I seznámí studenty se základní kolekcí úloh numerické matematiky. Studenti získají znalosti o přímých a iteračních metodách řešení soustav lineárních rovnic, o interpolaci, o metodě nejmenších čtverců, o numerickém derivování a integrování a o řešení nelineárních rovnic. Získané znalosti si studenti ověří a prohloubí zpracováním několika projektů.

Základní literatura

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Numerical Mathematics, Springer, Berlin, 2000
C.B. Moler: Numerical Computing with Matlab, Siam, Philadelphia, 2004.
G. Dahlquist, A. Bjork: Numerical Methods, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1974.
J.H. Mathews, K.D. Fink: Numerical Methods Using MATLAB, Pearson Prentice Hall, New Jersey, 2004.
M.T. Heath: Scientific Computing. An Introductory Survey. Second edition. McGraw-Hill, New York, 2002.

Doporučená literatura

L. Čermák, R. Hlavička: Numerické metody, CERM, Brno, 2008.
L. Čermák: Vybrané statě z numerických metod. [on-line], available from: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-I/sc-1150-sr-1-a-141/default.aspx.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-MAI-P bakalářský 3 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Osnova

1. Úvod do problematiky numerických metod: chyby v numerických výpočtech, reprezentace čísel v počítači, podmíněnost úloh, stabilita algoritmů.
2. Gaussova eliminační metoda. LU rozklad. Výběr hlavních prvků.
3. Řešení soustav se speciálními maticemi. Stabilita a podmíněnost. Analýza chyb.
4. Klasické iterační metody: Jacobiova, Gaussova-Seidelova, SOR, SSOR.
5. Zobecněná metoda minimálních reziduí, metoda sdružených gradientů.
6. Lagrangeův, Newtonův a Hermitův interpolační polynom. Interpolace po částech lineární, po částech kubická Hermitova.
7. Kubický interpolační splajn. Metoda nejmenších čtverců: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených soustav.
8. QR transformace a singulární rozklad v metodě nejmenších čtverců.
9. Metody ortogonalizace (Householderova, Givensova a Gramova-Schmidtova metoda).
10. Numerické derivování: základní formule, Richardsonova extrapolace.
11. Numerické integrování: Newtonovy-Cotesovy formule, Rombergova integrace, Gaussovy formule, adaptivní integrace.
12. Řešení jedné nelineární rovnice: metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda sečen, metoda regula falsi, metoda inverzní kvadratické interpolace, metoda prosté iterace.
13. Řešení soustav nelineárních rovnic: Newtonova metoda, metoda prosté iterace.

Cvičení s počítačovou podporou

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Osnova

Ke každému z témat přednášky studenti sestavují programy v MATLABu a ověřují, jak metody fungují. Kromě toho studenti samostatně zpracovávají zadané projekty.