Detail předmětu

Funkcionální analýza II

FSI-SU2Ak. rok: 2025/2026

Opakování látky z Funkcionální analýzy I. Teorie ohraničených lineárních operátorů.
Kompaktní množiny a operátory. Inverze a pseudoinverze ohraničených lineárních operátorů.
Úplné systémy: ortonormální báze, Rieszovy báze a framy.
Spektrální teorie samoadjungovaných kompaktních operátorů.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Diferenciální a integrální počet. Základy lineární algebry, Fourierovy analýzy a funkcionální analýzy.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Podmínkou k udělení zápočtu je aktivita na cvičení spočívající v řešení předepsaných úkolů/problémů, případně v samostatném hlubším zpracovaní vybraných témat.
Účast na cvičení je povinná. Zkouška v řádném termínu je písemná nebo ústní. Zkoušky v opravném nebo náhradním termínu pouze ústní. Cílem zkoušky je ověření základních teoretických znalostí studenta a jeho schopnosti získané poznatky samostatně a tvůrčím způsobem aplikovat.
Při nepřítomnosti nutnost doplnit probíranou látku samostudiem případně domácími úkoly.

Učební cíle

Seznámit posluchače s hlavními výsledky lineární funkcionální analýzy a jejich použitím při řešení úloh matematického modelovaní.
Znalost základů funkcionální analýzy, teorie prostorů a teorie lineárních operátorů. Znalost řešení úloh zejména v Hilbertových prostorech, znalost řešení úloh pomocí abstraktních Fourierových řad a Fourierovy transformace.

Základní literatura

A.E.Taylor: Úvod do funkcionální analýzy. Academia, Praha 1973. (CS)
A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975. (CS)
Ch.Heil: A Basis Theory Primer, expanded edition, Birkhäuser, New York, 2011. (EN)
L.Debnath, P.Mikusinski: Introduction to Hilbert spaces with Applications. 2-nd ed., Academic Press, London, 1999. (EN)
V. Veselý a P. Rajmic. Funkcionálnı́ analýza s aplikacemi ve zpracovánı́ signálů. Odborná učebnice. Vysoké učenı́ technické v Brně, Brno (CZ), 2015. ISBN 978-80-214-5186-5. (CS)

Doporučená literatura

A.W.Naylor, G.R.Sell: Teória lineárnych operátorov v technických a prírodných vedách, Alfa, Bratislava 1971 (CS)
A.Ženíšek: Funkcionální analýza II, skripta FSI VUT, PC-DIR, Brno 1999. (CS)
J. Kačur: Vybrané kapitoly z matematickej fyziky I, skripta MFF UK, Bratislava 1984. (CS)
L.A.Ljusternik, V.J.Sobolev: Elementy funkcionalnovo analiza, (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-MAI-P magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.

Osnova

1. Opakování: topologické, metrické, normované lineární a prostory s vnitřním součinem, přímý součet a faktorprostor
2. Opakování: duální prostory, spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta, slabá konvergence
3. Opakování: Fourierovy řady, Fourierova transformace a konvoluce
4. Ohraničené lineární operátory a hlavní tvrzení o nich.
5. Adjungované a samodajungované operátory včetně ortogonální projekce
6. Rieszova věta o reprezentaci a Banach-Steinhausova věta
7. Unitární operátory, kompaktní množiny a kompaktní operátory
8. Inverze ohraničených lineárních operátorů v Banachově a Hilbertově prostoru
9. Pseudoinverze ohraničených lineárních operátorů v Hilbertově prostoru
10. Úplné systémy: ortonormální báze, Rieszovy báze a framy
11. Spektrální teorie samoadjungovaných kompaktních operátorů, Hilbertova-Schmidtova věta
12. Příklady a aplikace zejména z oblasti Fourierovy analýzy a zpracování signálů
13. Rezerva

Cvičení

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.

Osnova

Opakování látky z Funkcionální analýzy I. a procvičování látky z přednášek samostatným řešením vybraných úloh a problémů.