Detail předmětu

Mechanika kontinua

FSI-S1KAk. rok: 2025/2026

Základní pojmy mechaniky kontinua, tělesa, pohyby, konfigurace. Základy teorie konečných deformací. Transportní teorém. Cauchyho I. a II. zákon mechaniky kontinua. Rovnice geometrické, rovnice kompatibility, okrajové podmínky. Termodynamické základy teorie konstitutivních vztahů. Modely pružného chování. Hyperelastický materiál. Izotropní a anizotropní tělesa. Zahrnutí vlivu tepelné roztažnosti. Klasická formulace základních úloh pružnosti pomocí diferenciálního přístupu. Deformační a přírůstková teorie plasticity. Variační principy v teorii malých deformací.Variační formulace základních okrajových úloh pružnosti. Slabé řešení. Osově symetrické úlohy. Rovinná deformace, rovinná napjatost. Řešení úloh rovinné pružnosti v napětích. Airyho funkce napětí. Základy teorie desek a skořepin. Základy lomové mechaniky. Poznámky k Ritzově metodě a k MKP v úlohách mechaniky kontinua.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

doc. Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky (ÚMTMB)

Vstupní znalosti

Z oblasti mechaniky: Znalost základních pojmů pružnosti a pevnosti (napětí, hlavní napětí, deformace, přetvoření, Hookův zákon). Principy virtuálních posunutí a princip virtuálních prací.
Z oblasti matematiky: Parciální diferenciální rovnice 2. řádu. Základy variačního počtu. Základy funkcionální analýzy (funkcionální prostory, Hilbertův prostor L2).

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Požadavky pro zkoušku:
- písemný přehledový test základních znalostí a pojmů
- písemné řešení 3 příkladů
- ústní diskuse nad písemnými materiály s případnou doplňkovou otázkou
Podmínky k udělení zápočtu:
- aktivní účast na cvičeních
- dobré výsledky průběžné kontroly základních znalostí
- vyřešení náhradních úloh v případě omluvené neúčasti
Konkrétní podobu splnění těchto požadavků stanovuje vedoucí cvičení v prvním týdnu semestru
Účast na cvičení je povinná. Vedoucí cvičení provádějí průběžnou kontrolu přítomnosti studentů, jejich aktivity a základních znalostí. Neomluvená neúčast je důvodem k neudělení zápočtu. Jednorázovou neúčast je možno nahradit zadáním náhradních úloh, delší neúčast se nahrazuje vypracováním náhradních úloh podle pokynů cvičícího.

Učební cíle

Cílem předmětu Mechanika kontinua I je seznámit posluchače se základními pojmy a vztahy kontinuální mechaniky pevné fáze a způsoby formulace a řešení okrajových úloh pružných a pružně plastických těles. Vedle klasické formulace úloh je kladen důraz také na variační formulaci problémů v návaznosti na další numerické řešení. Dalším cílem je pochopení základů teorie konečných deformací a konstitutivních rovnic, což skýtá lepší orientaci při aplikaci pokročilých systémů MKP umožňujících modelovat složité děje s uvažováním velkých přetvoření a nelineárních vlastností materiálů.
Studenti získají poznatky o základních metodách stanovení napjatosti a deformace u obecných těles, vycházejících z diferenciálního a variačního přístupu. Poznatky o fyzikální podstatě variační formulace úloh mechaniky kontinua umožňují v návaznosti na předmět Numerické metody III zvolit vhodnou metodiku přípravy numerického výpočtu. Osvojení základů teorie
konstitutivních rovnic vede k dobré orientaci mezi rozličnými materiálovými modely. Důležité jsou rovněž poznatky o negativním vlivu trhlin na životnost těles s trhlinami.

Základní literatura

Nečas, J., Hlaváček, I.: Úvod do teorie pružných a pružně plastických těles (CS)
Novacki W.: Teorija uprugosti (CS)
Timoshenko, S.P. Goodier,J.N.: Theory of Elasticity (EN)

Doporučená literatura

Janíček, P., Petruška, J.: Úlohy z pružnosti a pevnosti II (CS)
Němec,J. Dvořák,J., Hoschl. C.: Pružnost a pevnost ve strojírenství (CS)
Ondráček, E., Vrbka,J., Janíček, P.: Mechanika těles- pružnost a pevnost II (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-MAI-P magisterský navazující 2 ročník, zimní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Osnova

Teorie konečných deformací.Lagrangeovská a eulerovská formulace pohybu.Deformační gradient. Rovnice kontinuity. Polární rozklad deformačního gradientu. Míry deformace. Časové derivace veličin v konečných deformacích.
Mechanické veličiny v teorii konečných deformací. Transportní teorém. Euler-Cauchyho zákony v konečných defomacích. Piola-Kirchhoffovy a Cauchyho tenzory napětí.
Základy teorie konstitutivních rovnic materiálů, axiomy a termodynamická omezení na tvar konstitutivních rovnic.
Modely pružného chování. Hyperelastický materiál. Izotropní a anizotropní tělesa. Zahrnutí vlivu tepelné roztažnosti.
Základní rovnice matematické teorie lineární pružnosti. Diferenciální rovnice rovnováhy, rovnice geometrické, rovnice kompatibility, Hookeův zákon, okrajové podmínky, klasická formulace základních úloh pružnosti.
Variační principy v teorii malých deformací. Variační formulace a řešení základních okrajových úloh pružnosti. Slabé řešení.
Základní úlohy pružnosti v křivočarých souřadnicích.
Dvojdimenzionální úlohy teorie pružnosti. Airyho funkce napětí. Řešení úloh rovinné pružnosti v napětích.
Základy teorie ohybu desek.
Základy teorie skořepin.
Deformační a přírůstková teorie plasticity. Misesova podmínka plasticity. Asociované teorie plastického tečení. Pravidlo normality.
Deformační varianta metody konečných prvků (MKP) pro rovinnou úlohu.
Stručná rekapitulace kursu, časová reserva.

Cvičení

39 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Osnova

Kinematické veličiny mechaniky kontinua.
Tenzory napětí. Hlavní napětí, invarianty. Bilanční rovnice.
Konstitutivní rovnice v mechanice kontinua. Termodynamické zákony.
Hyperelastický materiál. Neo-Hookeův zákon, Mooney-Rivlinův zákon. Hookeův zákon pro izotropní a anizotropní tělesa.
Vybrané úlohy lineární 3D pružnosti.
Variační metody v teorii malých deformací.
Základní veličiny mechaniky kontinua v křivočarých souřadnicích.
Osově symetrické úlohy lineární pružnosti.
Řešení rovinných úloh pomocí Airyho funkce napětí.
Kruhové a mezikruhové desky.
Momentová válcová skořepina.
Rotačně symetrická membránová skořepina.
Vybrané jednoduché úlohy z teorie plasticity.
Numerické metody v úlohách pružnosti. Zápočet.