Detail předmětu

Matematická analýza

FSI-UMA-AAk. rok: 2025/2026

Předmět má seznámit studenty se základy teorie diferenciálních rovnic a dynamických systémů. Tyto poznatky tvoří teoretický základ potřebný pro matematické modelování ve fyzice, mechanice a jiných technických oborech.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

7

Garant předmětu

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Účast na přednáškách i ve cvičeních je povinná a  kontrolovaná. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.

Podmínky udělení zápočtu: Semestrální práce obsahující řešení zadaných úloh. Aktivní účast na přednáškách a ve cvičeních.

Zkouška: Zkouška prověřuje užití definic a vět na vybraných úlohách a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška se skládá z písemné a ústní části.  V písemné části je povolen vlastnoručně psaný "tahák" (v strany A4) se vzorci a kritérii dle vlastního úvážení (bez konkrétních příkladů). Je také povolena (jednoduchá) kalkulačka, telefon a počítač však povolen není. Seznam témat pro ústní část zkoušky bude oznámen na konci semestru.

Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemného testu (max. 80 bodů), hodnocení diskuze nad semestrální prací (max. 10 bodů) a hodnocení ústní části zkoušky (max. 10 bodů).

Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře (80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).

Učební cíle

Cíl kurzu: Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu a jejich speciálních případů, se základy teorie stability řešení autonomních soustav a s dalšími vybranými tématy z teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Cílem předmětu je také ukázat, že poznatky z teorie obyčejných diferenciálních rovnic se velmi často uplatňují ve fyzice, technické mechanice i jiných oborech.

Získané znalosti a dovednosti: Po absolvování předmětu studenti zvládnou analyticky řešit obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů a soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Budou schopni posoudit otázku stability ekvilibrií (singulárních bodů) nelineárních autonomních soustav. Na vybraných úlohách z fyziky, mechaniky i jiných disciplín se seznámí s možnostmi matematického modelování pomocí obyčejných diferenciálních rovnic a s analýzou získaných rovnic.

Základní literatura

A. A. Andronov, E. A. Leontovich, I. I. Gordon, A. G. Maier, Qualitative Theory of Second-Order Dynamical Systems, John Wiley and Sons, New York, 1973. (EN)
L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Text in Applied Mathematics, 7, Springer-Verlag, New York, 2001. (EN)
W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008. (EN)

Doporučená literatura

J. Stewart, Calculus, 7th Edition, Cengage Learning, 2012. (EN)
L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Text in Applied Mathematics, 7, Springer-Verlag, New York, 2001. (EN)
W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-ENG-A magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Osnova

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic (ODR) prvního řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení homogenních a nehomogenních lineárních soustav.
Metody řešení homogenních lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.
Řešení nehomogenních lineárních soustav ODR - metoda variace konstant.
Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav. Základní pojmy. Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.
Autonomní soustavy ODR prvního řádu. Trajektorie a fázový portrét. Ekvilibrium a jeho stabilita. Linearizace.
Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí. Klasifikace ekvilibrií.
Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR. Topologická ekvivalence.
Autonomní nelineární rovnice druhého řádu.
Matematické modelování v mechanice a biologii.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Osnova

Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu.
Analytické metody řešení ODR vyšších řádů.
Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.
Autonomní soustavy ODR prvního řádu.
Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí - stabilita a klasifikace ekvilibrií.
Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR - stabilita a klasifikace ekvilibrií.
Autonomní nelineární rovnice druhého řádu - stabilita a klasifikace ekvilibrií.
Matematické modelování v mechanice a biologii.