Detail předmětu

Statistika a optimalizace

FSI-USO-AAk. rok: 2025/2026

Předmět je zaměřen na seznámení studentů se základy operačního výzkumu pro inženýrské problémy. V první části uvádí základy teorie pravděpodobnosti a klíčové principy matematické statistiky (metody popisné statistiky, odhady parametrů, testování statistických hypotéz, lineární regresní analýza). Úlohy na procvičení látky jsou orientovány na praktické aplikace ve strojírenských oborech. Druhá část se zaměřuje na základní optimalizační modely a metody pro řešení technických problémů. Výklad se opírá o zásady matematického programování: porozumění problému, sestavení modelu, nalezení, analýza a interpretace optimálního řešení. Předmět zahrnuje úvod do lineárního a nelineární programování. Kurs byl sestaven na základě zkušeností autora s obdobnými kursy na zahraničních školách.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

6

Garant předmětu

RNDr. Pavel Popela, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Předpokládají se znalosti základních poznatků matematické analýzy a lineární algebry v rozsahu studia FSI.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Podmínky udělení zápočtu: aktivní účast ve cvičeních, zvládnutí celé látky, Zkouška je písemná, zahrnuje formulační, výpočtové a teoretické otázky. K písemné práci probíhá ústní rozprava.


Účast je kontrolována pomocí aktivní účasti studentů na řešených problémech, zameškaná výuka je nahrazována samostatným řešením zadaných úloh.

Učební cíle

Seznámení studentů se základními pojmy, metodami a postupy operačního výzkumu Formování stochastického způsobu myšlení studentů pro modelování reálných jevů a procesů ve strojírenských oborech. Důraz je kladen na získání hlubokých znalostí modelů a metod řešení stochastických a optimalizačních problémů, počínaje analýzou problému, přes tvorbu matematického modelu, včetně zápisu modelu, nalezení ekvivalentních modelů, volbu a modifikaci algoritmů. Uvedené metody jsou podloženy výkladem teoretických poznatků, navazujícím na geometrický názor nebo zkušenosti s reálnými daty.


Studenti získají potřebné znalosti z teorie pravděpodobnosti, popisné statistiky a matematické statistiky, které jim umožní pochopit a aplikovat stochastické modely technických jevů a procesů, založené na těchto metodách. Studenti dále získají znalosti základů optimalizace (zejména lineárního a nelineárního programování) osvojí si algoritmy řešení optimalizačních úloh a utvoří si základní představu o uplatnění optimalizačních modelů v typických aplikacích.

Základní literatura

Bazaraa M. et al.: Linear Programming and Network Flows,. John Wiley and Sons, 2011 (EN)
Bazaraa, M. et al.: Nonlinear Programming,, John Wiley and Sons, 2012 (EN)
Boyd, S. and Vandeberghe, L.: Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. (EN)
Hahn, G. J. - Shapiro, S. S.: Statistical Models in Engineering.New York : John Wiley & Sons, 1994. (EN)
Montgomery, D. C. - Renger, G.: Applied Statistics and Probability for Engineers. New York : John Wiley & Sons, 2003. (EN)

Doporučená literatura

Karpisek, Z. Apllied Statistics, Brno, 2007
Montgomery, D. C. - Renger, G.: Applied Statistics and Probability for Engineers. New York : John Wiley & Sons, 2003.
Rardin, R. L. Optimization in Operations Research. Pearson, 2015.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-ENG-A magisterský navazující 2 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

RNDr. Pavel Popela, Ph.D.

Osnova

1. Náhodné jevy a jejich pravděpodobnost.
2. Náhodná veličina a vektor, druhy, funkční a číselné charakteristiky.
3. Základní diskrétní a spojitá rozdělení pravděpodobnosti.
4. Náhodný výběr, výběrové charakteristiky. Odhady parametrů (bodové a intervalové odhady).
5. Testování statistických hypotéz.
6. Základy regresní analýzy.
7. Úvodní modely (ÚM): formulace problému, analýza problému, návrh modelu, teoretické vlastnosti.
8. ÚM: vizualizace, algoritmy, software, postoptimalizace.
9. Lineární programování (LP): Konvexní a polyedrické množiny. Množina přípustných řešení a teoretické poznatky.
10. LP: Simplexová metoda.
11. Nelineární programování (NLP): Konvexní funkce a jejich vlastnosti. Volné extrémy a vybrané numerické metody.
12. NLP: Vázané extrémy a KKT podmínky.
13. NLP: Vázané extrémy a související numerické metody vícerozměrné optimalizace.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

RNDr. Pavel Popela, Ph.D.

Osnova

1. Popisná statistika - příklady.
2. Pravděpodobnost - slovní úlohy.
3. Funkční a číselné charakteristiky náhodné veličiny - příklady.
4. Základní rozdělení pravděpodobnosti - příklady.
5. Bodové a intervalové odhady parametrů - příklady.
6. Testy hypotéz o parametrech - příklady.
7. Lineární regrese (přímka), odhady, testy a graf - příklady.
8. Uvodni ulohy - formulace problému a modelu - příklady.
9. Linearni ulohy - krajní body, krajní směry - příklady..
10. Lineární úlohy - simplexová metoda a tabulka - příklady.
11. Nelinearni ulohy - příklady použití algoritmů (volné extrémy) - příklady..
12. Nelineární úlohy - KKT - příklady.
13. Nelineární úlohy - příklady použití algoritmů (vázané extrémy) - příklady..