Detail předmětu
Moderní matematické metody v informatice
FIT-MIDAk. rok: 2025/2026
Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny, kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru. Částečně a dobře uspořádané množiny, izotonní zobrazení, ordinály. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta. Svazy a svazové homomorfismy. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. Uzávěrové a topologické prostory a jejich využití v informatice (Scottova, Lawsonova a Khalimského topologie).
Okruhy otázek k SDZ:
- Uspořádané množiny (posety) a monotónní zobrazení.
- Axiom výběru a věty s ním ekvivalentní.
- Dualita posetů, dolní množiny a dolní zobrazení, podmínky řetězců.
- Symetrický a tranzitivní obal relace, linearizace uspořádání.
- Dobře uspořádaní množiny, ordinální a kardinální čísla, transfinitní indukce.
- Polosvazy, svazy a úplné svazy.
- Průsekové struktury a uzávěrové operátory.
- Spojově a průsekově ireducibilní prvky svazu, podmínky řetězců a úplnost svazů.
- Ideály a filtry, Dedekind-MacNailleovo zúplnění.
- Modulární a distributivní svazy, Booleovy algebry.
Jazyk výuky
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Předmět je hodnocen na základě výsledku závěrečné zkoušky, ke složení zkoušky je třeba získat nejméně 50 z celkového počtu 100 bodů.
Učební cíle
Studenti získají znalosti o moderních matematických metodách využívaných v informatice a budou tak moci tyto medody aplikovat při práci ve svojí vědecké specializaci.
Absolventi budou schopni při své vědecké činnosti v informatice využívat moderních a efektivních matematických metod.
Prerekvizity a korekvizity
- doporučená prerekvizita
Matematické struktury v informatice - doporučená prerekvizita
Diskrétní matematika
Doporučená literatura
N.M. Martin and S. Pollard, Closure Spaces and Logic, Kluwer, 1996
P.T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982
S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008.
T. Y. Kong, Digital topology; in L. S. Davis (ed.), Foundations of Image Understanding, pp. 73-93. Kluwer, 2001
V.K.Garg, Introduction to Lattice Theory with Computer Science Applications, Wiley, 2015
Zařazení předmětu ve studijních plánech
Typ (způsob) výuky
Přednáška
Vyučující / Lektor
Osnova
- Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny.
- Kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru.
- Částečně a dobře uspořádané množiny, monotonní zobrazení, ordinály.
- Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta.
- Svazy a svazové homomorfismy.
- Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace
- Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice
- Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén.
- Uzávěrové operátory, jejich základní vlastnosti a aplikace v logice.
- Základy topologie: topologické prostory a spojitá zobrazení, oddělovací axiomy.
- Souvislost a kompaktnost v topologických prostorech.
- Speciální topologie v informatice: Scottova a Lawsonova topologie.
- Digitální topologie, Khalimského topologie.