Detail předmětu

Matematika

ÚSI-ESMATAk. rok: 2025/2026

Základní matematické pojmy. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, limita, spojitost, derivace funkce. Derivace vyšších řádů, Taylorova věta, L'Hospitalovo pravidlo, průběh funkce. Integrální počet funkcí jedné proměnné, primitivní funkce, neurčitý integrál. Metoda per partes, substituční metoda. Určitý integrál a jeho aplikace. Základy popisné statistiky. Úvod do pravděpodobnosti, podmíněná pravděpodobnost, závislost a nezávislost náhodných jevů, úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec. Diskrétní náhodné veličiny (pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, střední hodnota rozptyl). Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (binomické, hypergeometrické, Poissonovo, rovnoměrné). Spojité náhodné veličiny (hustota, distribuční funkce, střední hodnota, rozptyl). Exponenciální rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Testování statistických hypotéz (t-test).

 

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

doc. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Vstupní znalosti

Jsou požadovány znalosti na úrovni středoškolského studia.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

  • Písemky během semestru: 30 bodů.
  • Závěrečná zkouška: 70 bodů. 
  • Zisk zápočtu je podmíněn ziskem alespoň 10 bodů během semestru.

Absolvování cvičení ve stanoveném rozsahu. V případě nemoci řešeno individuálně s vyučujícím. 

Učební cíle

Předmět si klade za cíl seznámit posluchače se základními principy a metodami vyšší matematiky a pravděpodobnosti a statistiky, bez kterých se při studiu na VUT v Brně nelze obejít. Důraz je kladen na zvládnutí praktického použití těchto metod k řešení konkrétních úloh.
Student by po absolvování předmětu měl být schopen:

- určovat definiční obory a načrtnout grafy elementárních funkcí;
- spočítat limity a asymptoty funkce jedné proměnné, používat L’Hospitalovo pravidlo na výpočet limit;
- derivovat funkce, určit rovnici tečny ke grafu funkce, napsat Taylorův polynom funkce v daném bodě;
- načrtnout graf funkce včetně extrémů, inflexních bodů a asymptot;
- integrovat pomocí základních metod integrování, jako jsou substituce a per partes;
- počítat určitý integrál, použít substituci i per partes pro výpočet určitého integrálu z funkce;
- spočítat obsah plochy pomocí určitého integrálu;
- vypočítat základní charakteristiky statistického souboru (aritmetický průměr, medián, modus, rozptyl, směrodatná odchylka)
- pro konkrétní zadání vybrat správný model (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost) a vypočítat pravděpodobnost zadaného jevu
- vypočítat podmíněnou pravděpodobnost jevu za dané podmínky
- rozeznat a využít nezávislost jevů při výpočtu pravděpodobnosti
- aplikovat větu o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec
- pracovat s pravděpodobnostní funkcí (u diskrétní náhodné veličiny) a hustotou (u spojité náhodné veličiny) a s distribuční funkcí, určit jednu na základě znalosti druhé
- u jednoduchých příkladů sestavit pravděpodobnostní funkci
- u modelových situací vybrat správný typ pravděpodobnostního rozdělení (binomické, hypergeometrické, exponenciální, apod.) a dále s ním pracovat
- vypočítat střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny a vysvětlit jejich význam
- provádět výpočty s náhodnou veličinou X s normálním rozdělením - určit pravděpodobnost, že je X v daném rozmezí, najít kvantil/y pro zadanou pravděpodobnost
- provést některé jednoduché statistické testy (t-test)

Základní literatura

Fajmon, B., Hlavičková, I., Novák, M. Matematika 3. Elektronický text FEKT VUT, Brno, 2014
Krupková, V., Fuchs, P.,: Matematika 1. Elektronický text FEKT VUT, Brno, 2014

Doporučená literatura

Brabec B., Hrůza,B., Matematická analýza II, SNTL, Praha, 1986.
Casella, G., Berger, R. L.: Statistical Inference. Pacific Grove, CA: Duxbury Press, 2001.
Kolářová, E: Matematika 1 - Sbírka úloh, 2010
Likeš, J., Machek, J.: Počet pravděpodobnosti. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1981.
Neubauer, J., Sedlačík, M., Kříž, O.: Základy statistiky. Praha: Grada Publishing, 2012.
Švarc, S. a kol., Matematická analýza I, PC DIR, Brno, 1997.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program EID_P magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinný
  • Program REI_P magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D.

Osnova

1. Základní matematické pojmy. Shrnutí středoškolské matematiky.
2. Pojem funkce (základní vlastnosti a grafy). Operace s funkcemi.
3. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, limita, spojitost.
4. Derivace funkce. Derivace vyšších řádů. Taylorova věta.
5. L'Hospitalovo pravidlo. Průběh funkce.
6. Integrální počet funkcí jedné proměnné, primitivní funkce, neurčitý integrál. Metoda per partes, substituční metoda.
7. Určitý integrál a jeho aplikace.
8. Základy popisné statistiky.
9. Úvod do pravděpodobnosti, některé pravděpodobnostní modely (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost), podmíněná pravděpodobnost, závislost a nezávislost náhodných jevů, úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec.
10. Diskrétní náhodné veličiny (pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, střední hodnota rozptyl). Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (binomické, geometrické, hypergeometrické, Poissonovo, rovnoměrné).
11. Spojité náhodné veličiny (hustota, distribuční funkce, střední hodnota, rozptyl). Exponenciální rozdělení.
12. Normální rozdělení. Centrální limitní věta.
13. Testování statistických hypotéz (t-test). 

Cvičení s počítačovou podporou

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D.