Detail předmětu

Matematické modelování kontinua

FSI-9MMKAk. rok: 2025/2026

Pojem kontinua a jeho popis, souřadnice, veličiny a formulace úloh. Matematické prostředky: diferenciální rovnice, klasické, zobecněné a přibližné řešení. Prostory integrovatelných funkcí a integrální funkcionály.

Odvození rovnic kondukce, lineární a nelineární pružnosti. Pružné, vazké a plastické chování. Modelování heterogenního materiálu, homogenizace a sdružené úlohy.

Mechanika tekutin, odvození rovnic přenosu a Navierových-Stokesových rovnic. Sdružené úlohy: proudění s tepelnými jevy.

Existence, jednoznačnost a stabilita zobecněných řešení. Podmínky existence minima integrálního funkcionálu. Základní numerické metody: konečných prvků a konečných objemů, adaptivní metody. 

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Vektory a matice, diferenciální a integrální počet více proměnných, obyčejné diferenciální rovnice. Vhodné absolvování předmětu 9RF1 Rovnice matematické fyziky.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Zkouška se skládá z praktické a teoretické části. Praktická část: matematická formulace konkrétní inženýrské úlohy. Teoretická část: 3-5 otázek z probrané látky. V případě absence student si musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.

Učební cíle

Cílem kurzu je seznámit posluchače s matematickým modelováním pomocí parciálních diferenciálních rovnic širšího spektra inženýrských úloh pro kontinuum: pružnost, kondukce, konvekce, lineární i nelineární modely a sdružené úlohy. Naučit studenty formulovat základní úlohy včetně počátečních a okrajových a dalších podmínek, vědět, kde jsou zdroje chyb. Připravit je tak ke kritickému přístupu k využívání výpočetních systémů např. MATLAB, ANSYS, atd.  

Základní literatura

M Feistauer: Mathematical methods in fluid dynamics, Longman Scientific and Technical, Harlow 1993 (EN)
A. Kufner, O. John, S. Fučík: Function spaces, Academia, Prague 1977. (EN)
A. Ženíšek: Sobolev Spaces and Their Applications in the Finite Element Method. VUTIUM, Brno, 2005. (EN)
J. Nečas, I. Hlaváček: Úvod do matematické teorie pružných a pružně-plastických těles, SNTL Praha 1983 (CS)
M. Brdička, L. Samek, B. Sopko: Mechanika kontinua, Academia, Praha 2000. (CS)
P. G. Ciarlet: Mathematical elasticity Volume I: Three-dimensional elasticity, North-Holland, Amsterdam 1988  (EN)

Doporučená literatura

J. Franců: Moderní metody řešení diferenciálních rovnic, CERM, Brno 2006 (CS)
J. Franců: Parciální diferenciální rovnice, CERM, Brno 2011 (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D-APM-P doktorský 1 ročník, zimní semestr, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Osnova

Přednášky

  1. Pojem kontinua a jeho popis, souřadnice a veličiny, druhy úloh.
  2. Matematické prostředky: diferenciální rovnice, klasická a zobecněná řešení.
  3. Zákony zachování a konstituční vztahy. Lineární úlohy, odvození rovnice vedení tepla v tělese, formulace počáteční okrajové úlohy.
  4. Popis deformace a napětí v tělese, lineární a nelineární pružnost, Piolova transformace. Sdružené úlohy.
  5. Minimalizace integrálního funkcionálu, podmínky zobecněné konvexnosti.
  6. Heterogenní materiál: podmínky přechodu, homogenizace.
  7. Modely pružného, vazkého a plastického materiálu – hystereze.
  8. Modelování tekutin: souřadnice, veličiny. Odvození rovnic přenosu hmoty a tepla a Navierových Stokesových rovnic.
  9. Zobecněná formulace rovnic proudění.
  10. Metoda konečných prvků a konečných objemů, adaptivní metody.