čeština

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Studenti získají přehled o pokročilých metodách analýzy (základy funkcionální analýzy, derivace funkcionálu, věty o pevných bodech),
metodách variačního počtu a o některých metodách numerického řešení úloh pro parciální diferenciální rovnice.

Znalost základů teorie funkce jedné a více proměnných. Umět derivovat a integrovat funkce jedné a více proměnných.

Podmínky pro úspěšné ukončení předmětu stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.

Seznámit studenty se základními pojmy funkcionální analýzy, které jsou potřebné pro pochopení základních principů variačního počtu a numerického řešení počátečních a okrajových úloh.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Nečas J. - Hlaváček I.: Úvod do matematické teorie pružných a pružně plastických těles. SNTL Praha, 1983. (CS)
Rektorys K.: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky. Academia, 1999. (CS)
S. Fučík, A. Kufner: Nonlinear Differential Equations. Elsevier, 1980. (EN)