Detail předmětu

Moderní matematické metody v informatice

FIT-MIDAk. rok: 2017/2018

Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny, kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru. Částečně a dobře uspořádané množiny, izotonní zobrazení, ordinály. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta. Svazy a svazové homomorfismy. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. Uzávěrové a topologické prostory a jejich využití v informatice (Scottova, Lawsonova a Khalimského topologie).

 
Okruhy otázek k SDZ:
  1. Uspořádané množiny (posety) a monotónní zobrazení.
  2. Axiom výběru a věty s ním ekvivalentní.
  3. Dualita posetů, dolní množiny a dolní zobrazení, podmínky řetězců.
  4. Symetrický a tranzitivní obal relace, linearizace uspořádání.
  5. Dobře uspořádaní množiny, ordinální a kardinální čísla, transfinitní indukce.
  6. Polosvazy, svazy a úplné svazy.
  7. Průsekové struktury a uzávěrové operátory.
  8. Spojově a průsekově ireducibilní prvky svazu, podmínky řetězců a úplnost svazů.
  9. Ideály a filtry, Dedekind-MacNailleovo zúplnění.
  10. Modulární a distributivní svazy, Booleovy algebry.
 
 

 

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.

Zajišťuje ústav

ÚM-odbor algebry a diskrétní matematiky (ÚM OAAG)

Výsledky učení předmětu

Studenti získají znalosti o moderních matematických metodách využívaných v informatice a budou tak moci tyto medody aplikovat při práci ve svojí vědecké specializaci. 

Absolventi budou schopni při své vědecké činnosti v informatice využívat moderních a efektivních matematických metod.

Prerekvizity

Základní znalosti teorie množin, matematické logiky a obecné algebry.

Způsob a kritéria hodnocení

Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů.

Osnovy výuky

    Osnova přednášek:
    1. Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny.
    2. Kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru.
    3. Částečně a dobře uspořádané množiny, monotonní zobrazení, ordinály.
    4. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta.
    5. Svazy a svazové homomorfismy.
    6. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace 
    7. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice 
    8. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. 
    9. Uzávěrové operátory, jejich základní vlastnosti a aplikace v logice. 
    10. Základy topologie: topologické prostory a spojitá zobrazení, oddělovací axiomy. 
    11. Souvislost a kompaktnost v topologických prostorech. 
    12. Speciální topologie v informatice: Scottova a Lawsonova topologie. 
    13. Digitální topologie, Khalimského topologie.  

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty s moderními matematickými metodami využívanými v informatice. Jedná se především o metody založené na teorii uspořádaných množin a svazů, algebře a topologii.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Testy během semestru

Prerekvizity a korekvizity

Základní literatura

G. Grätzer, Universal Algebra, Springer, 2008 B.A. Davey, H.A. Pristley, Introduction to Lattices ad Order, Cambridge University Press, 1990 P.T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982 S. Willard, General Topology, Dover Publications, Inc., 1970 N.M. Martin and S. Pollard, Closure Spaces and Logic, Kluwer, 1996 T. Y. Kong, Digital topology; in L. S. Davis (ed.), Foundations of Image Understanding, pp. 73-93. Kluwer, 2001S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008.     

Doporučená literatura

G. Grätzer, Lattice Theory, Birkhäuser, 2003 K.Denecke and S.L.Wismath, Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, Chapman & Hall, 2002 S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008  J.L. Kelley, general Topology, Van Nostrand, 1955.    

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program VTI-DR-4 doktorský

    obor DVI4 , 0 ročník, letní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.

Osnova

  1. Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny.
  2. Kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru.
  3. Částečně a dobře uspořádané množiny, monotonní zobrazení, ordinály.
  4. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta.
  5. Svazy a svazové homomorfismy.
  6. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace 
  7. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice 
  8. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. 
  9. Uzávěrové operátory, jejich základní vlastnosti a aplikace v logice. 
  10. Základy topologie: topologické prostory a spojitá zobrazení, oddělovací axiomy. 
  11. Souvislost a kompaktnost v topologických prostorech. 
  12. Speciální topologie v informatice: Scottova a Lawsonova topologie. 
  13. Digitální topologie, Khalimského topologie.