Detail předmětu

Matematická logika

FIT-MLDAk. rok: 2017/2018

V předmětu budou systematicky vyloženy základy výrokové a zejména predikátové logiky. Nejprve budou studenti seznámeni se syntaxí a sémantikou těchto logik, pak budou logiky studovány jako formální teorie s důrazem na problematiku dokazování formulí. Prodiskutovány budou také klasické věty o korektnosti,  úplnosti a kompaktnosti. Po probrání převodu formulí na prenexní tvar budou uvedeny některé vlastnosti a modely teorií 1. řádu. Pozornost bude také věnována nerozhodnutelnosti teorií 1. řádu vyplývající ze známých Gödelových vět o neúplnosti. Závěrem předmětu bude pojednáno o některých dalších významných logikách, které nacházejí uplatnění v informatice.

Okruhy otázek k SDZ:

  1. Jazyk, formule a sémantika výrokové logiky.
  2. Formální systém výrokové logiky.
  3. Dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti.
  4. Jazyk predikátové logiky, termy a formule.
  5. Sémantika predikátové logiky.
  6. Formální systém predikátové logiky 1. řádu.
  7. Dokazatelnost v predikátové logice, prenexní tvary formulí.
  8. Teorie 1. řádu a jejich modely.  
  9. Věty o úplnosti a o kompaktnosti.
  10. Nerozhodnutelnost teorií 1. řádu, Gödelovy věty o neúplnosti.

 

 

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.

Zajišťuje ústav

ÚM-odbor algebry a diskrétní matematiky (ÚM OAAG)

Výsledky učení předmětu

Studenti se naučí exaktnímu formálnímu myšlení, které jim umožní provádět korektní a efektivní algoritmizaci řešení zadaných problémů. Také získají schopnost ověřovat správnost již vytvořených algoritmizací (verifikace programů).

Studenti se naučí exaktnímu formálnímu myšlení, které jim umožní provádět korektní a efektivní algoritmizaci řešení zadaných problémů. Také získají schopnost ověřovat správnost již vytvořených algoritmizací (verifikace programů).

Prerekvizity

Předpokládají se znalosti získané v předmětech Diskrétní matematika v bakalářském stupni studia a Matematické struktury v informatice v magisterském stupni studia.

Způsob a kritéria hodnocení

Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů.

Osnovy výuky

    Osnova přednášek:
    1. Základy teorie množin a kardinální aritmetiky
    2. Jazyk, formule a sémantika výrokové logiky
    3. Formální systém výrokové logiky
    4. Dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti
    5. Jazyk predikátové logiky, termy a formule
    6. Sémantika predikátové logiky
    7. Formální systém predikátové logiky 1. řádu
    8. Dokazatelnost v predikátové logice
    9. Věta o úplnosti a o kompaktnosti, prenexní tvar formulí
    10. Teorie 1. řádu a jejich modely
    11. Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti
    12. Teorie 2. řádu (monadická logika, SkS a WSkS)
    13. Některé další logiky (intuicionistická, modální a temporální logika, Presburgerova aritmetika)

Učební cíle

 Cílem předmětu je seznámit studenty se základními metodami uvažování v matematice. Studenti by si měli osvojit obecné principy predikátové logiky a získat tak schopnost přesného matematického uvažování a vyjadřování. Také by se měli naučit pracovat s některými dalšími důležitými formálními teoriemi využívanými v informatice.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Výuka není kontrolována.

Základní literatura

E. Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Chapman&Hall, 2001 A. Nerode, R.A. Shore, Logic for Applications, Springer-Verlag 1993 D.M. Gabbay, C.J. Hogger, J.A. Robinson, Handbook of Logic for Artificial Intelligence and Logic Programming, Oxford Univ. Press 1993 G. Metakides, A. Nerode, Principles of logic and logic programming, Elsevier, 1996 Melvin Fitting, First order logic and automated theorem proving, Springer, 1996 Sally Popkorn, First steps in modal logic, Cambridge Univ. Press, 1994

Doporučená literatura

E. Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Chapman&Hall, 2001 A. Nerode, R.A. Shore, Logic for Applications, Springer-Verlag 1993 D.M. Gabbay, C.J. Hogger, J.A. Robinson, Handbook of Logic for Artificial Intellogence and Logic Programming, Oxford Univ. Press 1993 G. Metakides, A. Nerode, Principles of logic and logic programming, Elsevier, 1996 Melvin Fitting, First order logic and automated theorem proving, Springer, 1996 Sally Popkorn, First steps in modal logic, Cambridge Univ. Press, 1994 A. Sochor, Klasická matematická logika, Karolinum, 2001 V. Švejnar, Logika, neúplnost a složitost, Academia, 2002

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program VTI-DR-4 doktorský

    obor DVI4 , 0 ročník, letní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.

Osnova

  1. Základy teorie množin a kardinální aritmetiky
  2. Jazyk, formule a sémantika výrokové logiky
  3. Formální systém výrokové logiky
  4. Dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti
  5. Jazyk predikátové logiky, termy a formule
  6. Sémantika predikátové logiky
  7. Formální systém predikátové logiky 1. řádu
  8. Dokazatelnost v predikátové logice
  9. Věta o úplnosti a o kompaktnosti, prenexní tvar formulí
  10. Teorie 1. řádu a jejich modely
  11. Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti
  12. Teorie 2. řádu (monadická logika, SkS a WSkS)
  13. Některé další logiky (intuicionistická, modální a temporální logika, Presburgerova aritmetika)