Detail předmětu

Maticový a tenzorový počet

FEKT-MPC-MATAk. rok: 2020/2021

Matice jako algebraická struktura. Operace s maticemi. Determinant. Matice v soustavách lineárních algebraických rovnic. Vektorový prostor, báze a dimenze. Transformace souřadnic. Součet a průnik vektorových prostorů. Lineární zobrazení vektorových prostorů a jeho maticové
vyjádření. Skalární součin, ortogonální průmět a prvek nejlepší aproximace. Problém vlastních hodnot. Spektrální vlastnosti (zejména samoadjungovaných) matic. Bilineární a kvadratické formy, definitnost kvadratických forem. Lineární formy a tenzory. Různé typy souřadnic.
Kovariantní, kontravariantní a smíšené tenzory. Operace s tenzory. Tenzorový antisymetrický vnější součin. Antilineární formy. Maticová formulace kvantové mechaniky. Diracova notace. Bra a Ket vektory. Vlnové pakety jako vektory. Samoadjungovaný lineární operátor.
Schrodingerova rovnice. Princip neurčitosti a Heisenbergova relace. Multi-qubitové systémy a kvantová provázanost (entaglement). Einstein-Podolsky-Rosen experiment-paradox. Kvantové výpočty. Matice hustoty. Kvantová teleportace.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

Garant předmětu

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Výsledky učení předmětu

Student si připomene a zdokonalí se v

- řešení soustav lineárních rovnic
- výpočtu determinantů vyšších řádů různými metodami
- používání různých maticových operací

Student se dále naučí

- stanovit bázi a dimenzi vektorového prostoru
- vyjadřovat vektory v různých bázích a přepočítávat jejich souřadnice
- vypočítat průnik a součet vektorových prostorů
- spočítat ortogonální průmět vektoru do podporstoru
- najít matici ortogonální projekce
- stanovit ortogonální doplněk vektorového podprostoru
- vypočítat vlastní hodnoty a vektory čtvercové matice
- nalézt spektrální reprezentaci samoadjungované matice
- určit typ kuželosečky a kvadratické plochy
- stanovit definitnost kvadratické formy
- vyjadřovat tenzory v různých bázích
- počítat různé typy tenzorových součinů
- používat maticovou reprezentaci pro vybrané kvantové veličiny a výpočty

Prerekvizity

Je požadováno zvládnutí učiva předmětu Matematika 1. Absolvování předmětu Matematický seminář je doporučeno.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány ve Studijním a zkušebním řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Semestrální zkouška je hodnocena maximálně 70 body. Ze cvičení je možné získat maximálně 30 bodů, z nichž 20 bodů připadá na písemné testy a 10 bodů na řešení dvou projektů, každý po 5 bodech.

Osnovy výuky

1. Matice jako algebraická struktura. Operace s maticemi. Determinant.
2. Matice v soustavách lineárních algebraických rovnic.
3. Vektorový prostor, báze a dimenze. Transformace souřadnic. Součet a průnik vektorových prostorů.
4. Lineární zobrazení vektorových prostorů a jeho maticové vyjádření.
5. Skalární součin, ortogonální průmět a prvek nejlepší aproximace.
6. Problém vlastních hodnot. Spektrální vlastnosti (zejména samoadjungovaných) matic.
7. Bilineární a kvadratické formy, definitnost kvadratických forem.
8. Lineární formy a tenzory. Různé typy souřadnic. Kovariantní, kontravariantní a smíšené tenzory.
9. Operace s tenzory. Tenzorový a antisymetrický vnější součin. Antilineární formy.
10. Maticová formulace kvantové mechaniky. Diracova notace. Bra a Ket vektory. Vlnové pakety jako vektory.
11. Samoadjungovaný lineární operátor. Schrodingerova rovnice. Princip neurčitosti a Heisenbergova relace.
12. Multi-qubitové systémy a kvantová provázanost (entaglement). Einstein-Podolsky-Rosen experiment-paradox.
13. Kvantové výpočty. Matice hustoty. Kvantová teleportace.

Učební cíle

Zvládnout základy maticového a tenzorového počtu a jejich aplikace.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

Kolman, B., Elementary Linear Algebra, Macmillan Publ. Comp., New York, ISBN 978-0029463703, 1986. (EN)
Kolman, B., Hill, D. R., Introductory Linear Algebra, Pearson, New York, 978-8131723227, 2008. (EN)
Kovár, M., Maticový a tenzorový počet, Skriptum, Brno, 2013, 220s. (CS)
Kovár, M., Selected Topics on Multilinear Algebra with Applications, Skriptum, Brno, 2015, 141s. (EN)

Doporučená literatura

Crandal, R. E., Mathematica for the Sciences, Addison-Wesley, Redwood City, ISBN 978-0201510010, 1991. (EN)
Davis, H. T., Thomson K. T., Linear Algebra and Linear Operators in Engineering, Academic Press, San Diego, ISBN 978-0122063497, 2007. (EN)
Demlová, M., Nagy, J., Algebra, STNL, Praha 1982. (CS)
Havel, V., Holenda J.: Lineární algebra, SNTL, Praha 1984. (CS)

Elearning

eLearning: aktuální otevřený kurz

Zařazení předmětu ve studijních plánech

Program MPC-IBE magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinný
Program MPC-EVM magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
Program MPC-MEL magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
Program MPC-TIT magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
Program MPC-BIO magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
Program MPC-SVE magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
Program MPC-EKT magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
Program MPC-AUD magisterský navazující
specializace AUDM-TECH , 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
specializace AUDM-ZVUK , 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
Program MPC-EEN magisterský navazující 0 ročník, letní semestr, volitelný
Program IT-MGR-2 magisterský navazující
obor MGM , 0 ročník, letní semestr, volitelný
obor MBI , 0 ročník, letní semestr, volitelný
obor MBS , 0 ročník, letní semestr, volitelný
obor MIN , 0 ročník, letní semestr, volitelný
obor MIS , 0 ročník, letní semestr, volitelný
obor MMI , 0 ročník, letní semestr, volitelný
obor MMM , 0 ročník, letní semestr, volitelný
obor MPV , 0 ročník, letní semestr, volitelný
obor MSK , 0 ročník, letní semestr, volitelný
Program MITAI magisterský navazující
specializace NISY , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NADE , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NBIO , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NCPS , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NEMB , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NHPC , 1 ročník, letní semestr, povinný
specializace NGRI , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NIDE , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NISD , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NMAL , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NMAT , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NNET , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NSEC , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NSEN , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NSPE , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NVER , 0 ročník, letní semestr, volitelný
specializace NVIZ , 0 ročník, letní semestr, volitelný