angličtina

Schopnost orientace v základních pojmech a metodách diskrétních a diferenčních. Řešení úloh z oblastí, uvedených v osnově předmětu, pomocí aplikace těchto metod. Řešení úloh využitím moderního matematického software. Hlavní výstupy jsou:

1) Schopnost řešit základní diferenční rovnice prvního řádu.
2) Užití diferenčních rovnic prvního řádu na řešení aplikačních úloh modelovaných diferenčními rovnicemi prvního řádu. Diskretizace diferenciálních rovnic a jejich převod na diskrétní rovnice, modelování obvodů diferenčními rovnicemi.
3) Nalezení rovnovážných bodů skalárních diferenčních rovnic, určení jejich stability a dalších možností chování řešení v jejich okolí.
4) Konstrukce pavučinových diagramů pro vyšetření stability rovnovážných bodů.
5) Zjistění stability numerických algoritmů na základě rovnovážných bodů.
6) Použití základních vztahů diskrétního kalkulu.
7) Řešení homogenních a nehomogenních lineárních diskrétních rovnic vyšších řádů.
8) Konstrukce řešení systému homogenních a nehomogenních lineárních diferenčních rovnic prvního řádu.
9) Řešení lineárních homogenního lineárního systému diferenčních rovnic pomocí Putzerova algoritmu. Nalezení partikulárního řešení.
10) Zjištování stability a nestability nelineárních a lineárních diskrétních system metodou fundamentální matice a Ljapunovovou metodou.
11) Užití transformace Z k řešení lineárních diferenčních rovnic vyššího řádu a lineárních diferenčních system.
12) Zjištění řiditelnosti a pozorovatelnosti lineárních diskrétních systemů.

Jsou požadovány znalosti matematiky na úrovni bagalářského a magisterského studia.

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Hodnoceny budou schopnosti řešit některé vybrané typy diferenčních rovnic a také schopnosti správného použití teoretických poznatků, které úspěšné řešení podmiňují. Během semestru studenti vypracují 3 samostatné referáty. Výsledké hodnocení (zkouška) je bodové (0-100 bodů), za referáty lze uznat maximálně 30 bodů. Závěrečná zkouška je písemná a ústní a lze za ni získat maximálně 70 bodů.

1. Basic notions and methods of investigation of discrete processes.
2. Discrete calculus (some difference relations based on corresponding continuous relations). Difference equations and systems.
3. Basic notions used in difference equations (equilibrium points, periodic points, eventually equilibrium points and eventually periodic points, stability of solution, repelling and attracting points) and their illustration on examples (modelling of circuits with the aid of difference equations, the transmission of information).
4. Recursive algorithms of solutions of systems of discrete equations and equations of higher order (the case of constant coefficients, the method of variation of parameters, the method of variation of constants).
5. Construction of the general solution. Transformation of some nonlinear equations into linear equations. Difference equations modelled with the aid of sampling, impulses inputs, computation of characteristic from the signal response (response of Dirac distribution), transmission effects.
6. Application of difference equations – stability of processes. Stability of equilibrium points. Kinds of stabily and instability.
7. Stability of linear systems with the variable matrix. Stability of nonlinear systems via linearization.
8. Ljapunov direct method of stability.
9. Phase analysis of two-dimensional linear discrete system with constant matrix, classification of equilibrium points.
10. Application of difference equations - control of processes. Discrete equivalents of continuous systems.
11. Discrete control theory (the controllability, the complete controllability, matrix of controllability, the canonical forms of controllability, controllable canonical form, construction of the control algorithm).
12. Observability, complete observability, nonobservability, principle of duality, the observability matrix.
13. Canonical forms of observability, relation of controllability and observability. Stabilization of control by feedback.

Diskrétní a diferenční rovnice jsou matematickou páteří mnoha oblastí inženýrských věd. Cílem kursu je vytvořit základní představy o vlastnostech řešení těchto rovnic, vyložit základní metody konstrukce jejich řešení, zjišťování faktu stability, osvětlení problematiky jejich použití v teorii řízení a ukázat způsoby aplikování těchto metod. Proto je pozornost věnována aplikačním příkladům a využití při studiu stability procesů, jejich řiditelnosti
a pozorovatelnosti.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu. Nutnou podmínkou (pro vykonání zkoušky) jsou tři vypracované referáty z publikovaných článků aplikačního charakteru s aplikacemi diskrétních rovnic.

Diblík, J., Hlavičková, I., Discrete Processes in Electrical Engineering, electronic text, Brno, 2018 (CS)
Mickens, Ronald E., Difference Equations: Theory, Applications and Advanced Topics, Third Edition, Chapman & Hall/CRC, 2016 (EN)
Oppenheim, Alan, V., Schaffer, Ronald, W., Discrete-Time Signal Processing, 3rd Edition, Pearson, 2014 (EN)

Sami Fadali, M., Visioli, A., Digital Control Engineering, Analysis and Design, 2nd Edition, Elsewier, AP, 2013 (EN)