Detail předmětu

Maticový a tenzorový počet

FEKT-MMATAk. rok: 2019/2020

Matice jako algebraická struktura. Operace s maticemi. Determinant. Matice v soustavách lineárních algebraických rovnic. Vektorový prostor, báze a dimenze. Transformace souřadnic. Součet a průnik vektorových prostorů. Lineární zobrazení vektorových prostorů a jeho maticové vyjádření. Skalární součin, ortogonální průmět a prvek nejlepší aproximace. Problém vlastních hodnot. Spektrální vlastnosti (zejména samoadjungovaných) matic. Bilineární a kvadratické formy, definitnost kvadratických forem. Lineární formy a tenzory. Různé typy souřadnic. Kovariantní, kontravariantní a smíšené tenzory. Operace s tenzory. Tenzorový antisymetrický vnější součin. Antilineární formy. Maticová formulace kvantové mechaniky. Diracova notace. Bra a Ket vektory. Vlnové pakety jako vektory. Samoadjungovaný lineární operátor. Schrodingerova rovnice. Princip neurčitosti a Heisenbergova relace. Multi-qubitové systémy a kvantová provázanost (entaglement). Einstein-Podolsky-Rosen experiment-paradox. Kvantové výpočty. Matice hustoty. Kvantová teleportace.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Výsledky učení předmětu

Zvládnutí základních postupů při řešení úloh a úkolů z maticového a tenzorového počtu a jejich aplikací.

Prerekvizity

Je požadováno zvládnutí učiva předmětu BMA1 Matematika 1. Absolvování předmětu BMAS Matematický seminář je doporučeno.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Semestrální zkouška je hodnocena maximálně 70 body. Ze cvičení je možné získat maximálně 30 bodů, z nichž 20 bodů připadá na písemné testy a 10 bodů na řešení dvou projektů, každý po 5 bodech. Zkouška z předmětu bude probíhat distančně.

Osnovy výuky

1. Matice jako algebraická struktura. Operace s maticemi. Determinant.
2. Matice v soustavách lineárních algebraických rovnic.
3. Vektorový prostor, báze a dimenze. Transformace souřadnic. Součet a průnik vektorových prostorů.
4. Lineární zobrazení vektorových prostorů a jeho maticové vyjádření.
5. Skalární součin, ortogonální průmět a prvek nejlepší aproximace.
6. Problém vlastních hodnot. Spektrální vlastnosti (zejména samoadjungovaných) matic.
7. Bilineární a kvadratické formy, definitnost kvadratických forem.
8. Lineární formy a tenzory. Různé typy souřadnic. Kovariantní, kontravariantní a smíšené tenzory.
9. Operace s tenzory. Tenzorový a antisymetrický vnější součin. Antilineární formy.
10. Maticová formulace kvantové mechaniky. Diracova notace. Bra a Ket vektory. Vlnové pakety jako vektory.
11. Samoadjungovaný lineární operátor. Schrodingerova rovnice. Princip neurčitosti a Heisenbergova relace.
12. Multi-qubitové systémy a kvantová provázanost (entaglement). Einstein-Podolsky-Rosen experiment-paradox.
13. Kvantové výpočty. Matice hustoty. Kvantová teleportace.

Učební cíle

Zvládnout základy maticového a tenzorového počtu a jejich aplikace.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

Angot A.: Užitá matematika pro elektroinženýry, SNTL, Praha 1960.
Boček L.: Tenzorový počet, SNTL Praha 1976.
Demlová, M., Nagy, J., Algebra, STNL, Praha 1982.
Havel V., Holenda J.: Lineární algebra, SNTL, Praha 1984.
Hrůza B., Mrhačová H.: Cvičení z algebry a geometrie. Ediční stř. VUT 1993, skriptum
Kolman, B., Elementary Linear Algebra, Macmillan Publ. Comp., New York 1986.
Kolman, B., Introductory Linear Algebra, Macmillan Publ. Comp., New York 1991.
Krupka D., Musilová J., Lineární a multilineární algebra, Skriptum Př. f. MU, SPN, Praha, 1989.
Schmidtmayer J.: Maticový počet a jeho použití, SNTL, Praha, 1967.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program AUDIO-P magisterský navazující

    obor P-AUD , 2 ročník, letní semestr, volitelný mimooborový
    obor P-AUD , 1 ročník, letní semestr, volitelný mimooborový

  • Program IBEP-V magisterský navazující

    obor V-IBP , 1 ročník, letní semestr, povinný

  • Program EEKR-M1 magisterský navazující

    obor M1-EEN , 1 ročník, letní semestr, teoretická nadstavba
    obor M1-KAM , 1 ročník, letní semestr, teoretická nadstavba
    obor M1-TIT , 1 ročník, letní semestr, teoretická nadstavba
    obor M1-SVE , 1 ročník, letní semestr, teoretická nadstavba
    obor M1-EST , 1 ročník, letní semestr, teoretická nadstavba
    obor M1-EVM , 1 ročník, letní semestr, teoretická nadstavba

  • Program IT-MGR-2 magisterský navazující

    obor MBI , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    obor MBS , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    obor MGM , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    obor MIN , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    obor MIS , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    obor MMI , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    obor MMM , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    obor MPV , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    obor MSK , 0 ročník, letní semestr, volitelný

  • Program MITAI magisterský navazující

    specializace NHPC , 1 ročník, letní semestr, povinný
    specializace NBIO , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NSEN , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NVIZ , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NGRI , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NISD , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NSEC , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NCPS , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NNET , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NMAL , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NVER , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NIDE , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NEMB , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NSPE , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NADE , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NMAT , 0 ročník, letní semestr, volitelný
    specializace NISY , 0 ročník, letní semestr, volitelný

  • Program EEKR-CZV celoživotní vzdělávání (není studentem)

    obor ET-CZV , 1 ročník, letní semestr, teoretická nadstavba

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Osnova

Definice matice, základní pojmy. Transponování matic.
Determinant čtvercové komplexní matice.
Operace s maticemi, speciální tvary matic. Inverzní matice.
Použití matic k řešení soustav lineárních algebraických rovnic.
Lineární, bilineární a kvadratické formy. Definitnost kvadratických forem.
Spektrální vlastnosti matic.
Lineární prostor, báze, dimenze.
Lineární transformace souřadnic vektoru.
Kovariantní a kontravariantní souřadnice vektoru.
Definice tenzoru.
Tenzor kovariantní, kontravariantní, smíšený.
Operace s tenzory.
Symetrie a antisymetrie tenzorů druhého řádu.

Cvičení s počítačovou podporou

18 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.
Mgr. Irena Hlavičková, Ph.D.

Osnova

Operace s maticemi. Inverzní matice.Použití matic k řešení soustav lineárních algebraických rovnic.
Spektrální vlastnosti matic.
Operace s tenzory.