Detail předmětu

Matematické struktury v informatice

FIT-MATAk. rok: 2021/2022

Formální teorie, výroková logika, predikátová logika, univerzální algebra, algebraické struktury s jednou a dvěma binárními operacemi, topologické a metrické prostory, Banachovy a Hilbertovy prostory, neorientované grafy, orientované grafy a sítě.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.

Zajišťuje ústav

ÚM-odbor algebry a diskrétní matematiky (ÚM OAAG)

Výsledky učení předmětu

Studenti prohloubí své znalosti z oblasti matematických struktur, které jsou nejčastěji využívány v informatice. Jedná se o matematickou logiku, algebru, funkcionální analýzu a teorii grafů. To jim pak umožní nejen lépe porozumět teoretickým základům informatiky, ale také se aktivně zapojit do výzkumu v tomto oboru.

Způsob a kritéria hodnocení

Půlsemestrální písemný test.

Učební cíle

Cílem předmětu je prohloubit u studentů znalosti základních matematických struktur, které jsou často využívány v různých oblastech informatiky. Vedle základů univerzální algebry a klasických algebraických struktur budou podrobněji vyloženy základy matematické logiky, teorie Banachových a Hilbertových prostorů a teorie neorientovaných i orientovaných grafů.

Doporučená literatura

Biggs, N.L.: Discrete Mathematics, Oxford Science Publications, 1999, ISBN 0198534272
Birkhoff, G., MacLane, S.: Aplikovaná algebra, Alfa, Bratislava, 1981
Cameron, P.J.: Sets, Logic and Categories, Springer-Verlag, 2000, ISBN 1852330562
Lang, S.: Undergraduate Algebra, Springer-Verlag, New York - Berlin - Heidelberg, 1990, ISBN 038797279
Mendelson, E.: Introduction to Mathematical Logic, Chapman Hall, 1997, ISBN 0412808307
Nerode, A., Shore, R.A.: Logic for Applications, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0387941290
Polimeni, A.D., Straight, H.J.: Foundations of Discrete Mathematics, Brooks/Cole Publ. Comp., Pacific Grove, 1990, ISBN 053412402X
Procházka, L.: Algebra, Academia, Praha, 1990
Shoham, Y.: Reasoning about Change, MIT Press, Cambridge, 1988, ISBN 0262192691
Van der Waerden, B.L.: Algebra I, II, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1971, Algebra I. ISBN 0387406247, Algebra II. ISBN 0387406255

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program IT-MGR-2 magisterský navazující

    obor MBI , 1 ročník, zimní semestr, povinný
    obor MBS , 1 ročník, zimní semestr, povinný
    obor MGM , 1 ročník, zimní semestr, povinný
    obor MIN , 1 ročník, zimní semestr, povinný
    obor MIS , 1 ročník, zimní semestr, povinný
    obor MMM , 1 ročník, zimní semestr, povinný
    obor MPV , 1 ročník, zimní semestr, povinný
    obor MSK , 1 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program MITAI magisterský navazující

    specializace NADE , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NBIO , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NCPS , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NEMB , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NGRI , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NHPC , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NIDE , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NISD , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NMAL , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NMAT , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NNET , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NSEC , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NSEN , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NSPE , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NVER , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NVIZ , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NISY do 2020/21 , 0 ročník, zimní semestr, volitelný
    specializace NISY , 0 ročník, zimní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.

Osnova

  • Výroková logika, výrokové formule a jejich pravdivost, formální systém výrokové logiky, dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti.
  • Jazyk predikátové logiky (predikáty, kvantifikátory, termy, formule) a jeho realizace, pravdivost a splňování formulí.
  • Formální systém predikátové logiky 1. řádu, věty o korektnosti, úplnosti a kompaktnosti, prenexní tvar formulí. 
  • Univerzální algebry a jejich základní typy: grupoidy, pologrupy, monoidy, grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, svazy a Booleovy svazy.  
  • Základní algebraické metody: podalgebry, homomorfismy a izomorfismy, kongruence a přímé součiny algeber.
  • Relace kongruence na grupách a okruzích, normální podgrupy a ideály.
  • Okruhy polynomů, dělitelnost v oborech integrity, Gaussovy a Eukleidovy okruhy.
  • Teorie polí: minimální pole, rozšíření polí, konečná pole.
  • Metrické prostory, úplnost, normované a Banachovy prostory.
  • Unitární a Hilbertovy prostory, ortogonalita, uzavřené ortonormální systémy a Fourierovy řady.
  • Stromy a kostry, minimální kostra (Kruskalův a Primův algoritmus), vybarvování uzlů a hran grafu.
  • Orientované grafy, orientované eulerovské grafy, problém kritické cesty (Dijkstrův a Floyd-Warshallův algoritmus).
  • Sítě, toky a řezy v sítích, problémy maximálního toku a minimálního řezu, cirkulace v sítích.

Cvičení odborného základu

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Mgr. Jan Pavlík, Ph.D.
prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.
doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D.
Lukáš Duránik