Detail předmětu

Numerické řešení variačních úloh

FAST-DA66Ak. rok: 2022/2023

1. Úvod do variačního počtu: Příklady funkcionálů, řešení nejjednodušší úlohy variačního počtu, Eulerova rovnice funkcionálu.
2. Úlohy pro diferenciální rovnice: Klasická, variační a minimizační formulace okrajových diferenciálních úloh. Diskretizace stacionárních úloh metodou sítí, metodou Galerkinovou a metodou Ritzovou. Standardní způsoby časové diskretizace nestacionárních diferenciálních úloh.
3. Formulace a numerické řešení úlohy vedení tepla, lineární úlohy pružnosti, lineárních úloh proudění, nelineární úlohy pro Navier-Stokesovy rovnice a vybraných modelů šíření vlhkosti a tepla v porézních látkách.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

10

Garant předmětu

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Prerekvizity

Základy lineární algebry a matematické analýzy, elementární metody řešení diferenciálních rovnic, metody řešení systémů lineárních a nelineárních rovnic, základní prostředky interpolace a aproximace funkce, numerického výpočtu derivace a numerické integrace.

Osnovy výuky

1. Funkcionál a jeho Eulerova rovnice, řešení nejjednodušší úlohy variačního počtu.
2. Příklady funkcionálů a jim příslušných Eulerových rovnic. Jejich řešení elementárními prostředky.
3. Odvození eliptické úlohy pro ODR 2. řádu, úlohy vedení tepla a šíření příměsi. Klasická formulace úlohy.
4. Diskretizace eliptické úlohy pro ODR 2. řádu standardní metodou sítí, stabilita numerických řešení.
5. Variační (slabá) a minimizační formulace eliptické úlohy pro ODR 2. řádu.
6. Metoda Ritzova a metoda Galerkinova.
7. Diskretizace eliptické variační úlohy pro ODR 2. řádu metodou konečných prvků, řešení konkrétních úloh.
8. Diskretizace minimizační formulace úlohy pro ODR 2. řádu metodou konečných prvků, řešení konkrétních úloh.
9. Klasická, variační a minimizační formulace eliptické úlohy pro PDR 2. řádu.
10. Diskretizace eliptické úlohy pro PDR 2. řádu metodou konečných prvků.
11. Variační formulace a metoda konečných prvků pro lineární úlohu pružnosti ve 2D.
12. Navier-Stokesovy rovnice a jejich řešení metodou charakteristik.
13. Úloha současného šíření vlhkosti a tepla v porézních látkách, numerické řešení.

Učební cíle

Základy variačního počtu, numerické metody řešení okrajových diferenciálních úloh, vycházející z variačních formulací a jejich algoritmizace. Okrajové úlohy jsou matematickými modely procesů, významných pro stavební praxi.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

BLAHETA R. Matematické modelování a metoda konečných prvků. ZČU v Plzni 2012. (CS)
BOUCHALA J.: Variační metody. VŠB-TU Ostrava 2012. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D-K-E-SI (N) doktorský

    obor FMI , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor KDS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor MGS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor VHS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor PST , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný

  • Program D-K-C-SI (N) doktorský

    obor VHS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor MGS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor PST , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor FMI , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor KDS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný

  • Program D-P-E-SI (N) doktorský

    obor PST , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor FMI , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor KDS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor MGS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor VHS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný

  • Program D-P-C-SI (N) doktorský

    obor PST , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor FMI , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor KDS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor MGS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný
    obor VHS , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný

  • Program D-P-C-GK doktorský

    obor GAK , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný

  • Program D-K-C-GK doktorský

    obor GAK , 2 ročník, zimní semestr, povinně volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Osnova

1. Funkcionál a jeho Eulerova rovnice, řešení nejjednodušší úlohy variačního počtu. 2. Příklady funkcionálů a jim příslušných Eulerových rovnic. Jejich řešení elementárními prostředky. 3. Odvození eliptické úlohy pro ODR 2. řádu, úlohy vedení tepla a šíření příměsi. Klasická formulace úlohy. 4. Diskretizace eliptické úlohy pro ODR 2. řádu standardní metodou sítí, stabilita numerických řešení. 5. Variační (slabá) a minimizační formulace eliptické úlohy pro ODR 2. řádu. 6. Metoda Ritzova a metoda Galerkinova. 7. Diskretizace eliptické variační úlohy pro ODR 2. řádu metodou konečných prvků, řešení konkrétních úloh. 8. Diskretizace minimizační formulace úlohy pro ODR 2. řádu metodou konečných prvků, řešení konkrétních úloh. 9. Klasická, variační a minimizační formulace eliptické úlohy pro PDR 2. řádu. 10. Diskretizace eliptické úlohy pro PDR 2. řádu metodou konečných prvků. 11. Variační formulace a metoda konečných prvků pro lineární úlohu pružnosti ve 2D. 12. Navier-Stokesovy rovnice a jejich řešení metodou charakteristik. 13. Úloha současného šíření vlhkosti a tepla v porézních látkách, numerické řešení.