Detail předmětu

Základy variačního počtu

FAST-CA058Ak. rok: 2022/2023

Prostory funkcí, pojem funkcionálu, první a druhá derivace funkcionálu, Eulerovy a Lagrangeovy podmínky, silná a slabá konvergence, klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů (příklady z mechaniky stavebních konstrukcí), numerické řešení počátečních a okrajových úloh, Ritzova a Galerkinova metoda, metoda konečných prvků, přehled dalších variačních metod, prostorová a časová diskretizace evolučních úloh.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Studenti získají přehled o pokročilých metodách analýzy (základy funkcionální analýzy, derivace funkcionálu, věty o pevných bodech),
metodách variačního počtu a o některých metodách numerického řešení úloh pro parciální diferenciální rovnice.

Prerekvizity

Znalost základů teorie funkce jedné a více proměnných. Umět derivovat a integrovat funkce jedné a více proměnných.

Osnovy výuky

1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.

Učební cíle

Seznámit studenty se základními pojmy funkcionální analýzy, které jsou potřebné pro pochopení základních principů variačního počtu a numerického řešení počátečních a okrajových úloh.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-P-C-SI (N) magisterský navazující

    obor V , 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný

  • Program N-K-C-SI (N) magisterský navazující

    obor V , 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný

  • Program N-P-E-SI (N) magisterský navazující

    obor V , 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Osnova

1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu. 2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí. 3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice. 4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému. 5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky. 6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence. 7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů. 8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí. 9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata. 10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda. 11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí. 12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu. 13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace. 14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Osnova

Navazuje přímo na jednotlivé přednášky. 1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu. 2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí. 3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice. 4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému. 5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky. 6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence. 7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů. 8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí. 9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata. 10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda. 11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí. 12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu. 13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace. 14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.