angličtina

Všech fakult

Studenti by po absolvování kursu měli být schopni z oblasti pravděpodobnosti a statistiky:
- vypočítat základní charakteristiky statistického souboru (aritmetický průměr, medián, modus, rozptyl, směrodatná odchylka)
- pro konkrétní zadání vybrat správný model (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost) a vypočítat pravděpodobnost zadaného jevu
- vypočítat podmíněnou pravděpodobnost jevu za dané podmínky
- rozeznat a využít nezávislost jevů při výpočtu pravděpodobnosti
- aplikovat větu o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec
- pracovat s pravděpodobnostní funkcí (u diskrétní náhodné veličiny) a hustotou (u spojité náhodné veličiny) a s distribuční funkcí, určit jednu na základě znalosti druhé
- u jednoduchých příkladů sestavit pravděpodobnostní funkci
- u modelových situací vybrat správný typ pravděpodobnostního rozdělení (binomické, hypergeometrické, exponenciální, apod.) a dále s ním pracovat
- vypočítat střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny a vysvětlit jejich význam
- provádět výpočty s náhodnou veličinou X s normálním rozdělením - určit pravděpodobnost, že je X v daném rozmezí, najít kvantil/y pro zadanou pravděpodobnost
- konstruovat odhady neznámých parametrů známých rozdělení
- odhadovat parametry rozdělení pravděpodobnosti metodou maximální věrohodnosti
- provést některé jednoduché statistické testy: U-test, test o střední hodnotě při známém rozptylu, test o parametru p binomického rozdělení

Z oblasti numerických metod by absolvent předmětu měl umět:
- najít kořen rovnice f(x)=0 metodou půlení intervalů, Newtonovou metodou, metodou prosté iterace, popsat tyto metody včetně podmínek konvergence
- najít kořen soustavy dvou nelineárních rovnic Newtonovou metodou a metodou prosté iterace
- řešit soustavu lineárních rovnic Gaussovou eliminací s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gauss-Seidelovou iterační metodou a diskutovat výhody a nevýhody těchto metod
- sestavit pro zadané body Lagrangeův nebo Newtonův interpolační polynom a počítat pomocí něj přibližné hodnoty aproximované funkce, případně i její derivace
- aproximovat funkci pomocí splajnu (lineárního nebo kubického)
- funkci zadanou tabulkou bodů aproximovat metodou nejmenších čtverců pomocí přímky, případně paraboly nebo exponenciály
- rozhodnout, zda je vhodnější použít interpolační polynom, splajn, metodu nejmenších čtverců
- vypočítat přibližnou hodnotu 1. nebo 2. derivace zadané funkce v zadaném bodě
- vypočítat přibližnou hodnotu určitého integrálu lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou, popsat princip těchto metod, porovnat je z hlediska přesnosti
- najít přibližné řešení diferenciální rovnice na zadaném intervalu Eulerovou metodou, 1. a 2. modifikací Eulerovy metody a metodami Runge-Kutta vyšších řádů

Student by měl být schopen aplikovat znalosti z kombinatoriky na úrovni středoškolského studia: umět vysvětlit, co jsou to variace s opakováním a bez opakování, permutace, kombinace, určit jejich počty, provádět výpočty s faktoriály a kombinačními čísly.
Z předmětů BMA1, BMA2 jsou požadovány základní znalosti diferenciálního počtu funkce jedné proměnné a více proměnných a integrálního počtu funkce jedné proměnné. Především by student měl umět kreslit grafy elementárních funkcí, dosadit do funkce, derivovat (včetně parciálních derivací) a integrovat.

Metody vyučování zahrnují přednášky, cvičení odborného základu, cvičení s počítačovou podporou a ostatní aktivity.

Práce během semestru je hodnocena maximálně 30 body (2 testy po 15 bodech). Požadavkem získání zápočtu je alespoň 10 bodů. Závěrečná písemná zkouška je hodnocena maximálně 70 body.

Informace pro případ distanční výuky v důsledku opatření proti coronaviru:
Pokud nebude možné psát některý z testů prezenční formou, bude maximální bodový zisk za práci během semestru adekvátně ponížen a maximální bodový zisk za zkoušku adekvátně povýšen. V případě 1 testu bude požadavkem na získání zápočtu zisk alespoň 5 bodů. V případě žádného testu získá zápočet každý student předmětu.

1. Úvod do numerických metod. Numerické řešení soustav lineárních rovnic.
2. Numerické řešení nelineárních rovnic a jejich soustav.
3. Interpolace: interpolační polynom, splajn
4. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování a integrování.
5. Základy teorie pravděpodobnosti.
6. Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky
7. Náhodné vektory a jejich číselné charakteristiky
8. Významná rozdělení pravděpodobnosti
9. Zákon velkých čísel, centrální limitní věta.
10. Úvod do statistiky, statistické zpracování dat.
11. Bodové a intervalového odhady. Metoda momentů, metoda maximální věrohodnosti.
12. Testování hypotéz o střední hodnotě a rozptylu, testy dobré shody.
13. Testy korelace, neparametrické testy.

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy dvou odlišných matematických disciplín: numerických metod a pravděpodobnosti a statistiky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

FAJMON, B., HLAVIČKOVÁ I., NOVÁK, M., Mathematics 3. Electronic textbook. FEEC BUT. Brno. 2013 (EN)
M. Fusek, I. Hlavičková, M. Novák: Probability and Statistics: Exercise Book, Brno VUT, 2022 (EN)
M. Novák, Mathematics 3 (Numerical methods: Exercise Book), Brno, VUT, 2014 (EN)