Detail předmětu

Matematika 2

FEKT-BPC-MA2Ak. rok: 2022/2023

Funkce více proměnných, parciální derivace, gradient. Obyčejné diferenciální rovnice, základní pojmy, analytické metody řešení, příklady užití diferenciálních rovnic. Diferenciální počet v komplexním oboru, derivace funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce. Integrální počet v komplexním oboru, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec, Laurentova řada, singulární body, residuová věta. Laplaceova transformace, pojem konvoluce, praktické aplikace. Fourierova transformace, souvislost s Laplaceovou transformací, ukázky použití. Z-transformace, diskrétní systémy, diferenční rovnice.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

Garant předmětu

doc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Výsledky učení předmětu

Studenti budou seznámeni s některými exaktními a numerickými metodami řešení diferenciálních rovnic a se základy techniky formalizovaného řešení úloh aplikačního charakteru pomocí Laplaceovy, Fourierovy a Z-transformace.

Prerekvizity

Jsou požadovány znalosti na úrovni středoškolského studia a předmětu BMA1. K dobrému zvládnutí látky předmětu je zapotřebí umět určovat deefiniční obory běžných funkcí jedné proměnné, pochopení pojmu limity funkce jedné proměnné, číselné posloupnosti a její limity a řešit konkrétní standardní úlohy. Dále je nutná znalost pravidel pro derivování reálných funkcí jedné proměnné, znalost základních metod integrování - integrace per partes, metodu substituce u neurčitého i určitého integrálu a tyto umět aplikovat na úlohy v rozsahu skript BMA1. Rovněž je požadována znalost nekonečných číselných řad a některých základních kriterií jejich konvergence.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT. Spočívají v předáškách podle obsahu předmětu a v řešení ukázkových úloh, jakožto v procvičování dalších příkladů obsažených ve studijních materiálech předmětu.

Způsob a kritéria hodnocení

Během semestru studenti vypracují hodnocený projekt spočívající v řešení individuálních početních úloh a napíší dvě písemné práce hodnocené učitelem. Tyto aktivity jsou hodnoceny po 10 bodech. Pro získání zápočtu je třeba získat minimálně 10 bodů.
Zkouška je pouze písemná za maximum 70 bodů. Pro absolvování předmětu je třeba získat alespoň 50 bodů.

Osnovy výuky

1. Diferenciální počet funkce více proměnných.
2. Obyčejné diferenciální rovnice, základní pojmy.
3. Řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu.
4. Homogénní lineární diferenciální rovnice vyššího řádu.
5. Řešení nehomogénní lineární diferenciální rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty.
6. Diferenciální počet v komplexním oboru, derivace funkce,
7. Cauchy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce.
8. Integrální počet v komplexním oboru, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec,
9. Laurentova řada, singulární body.Residuová věta.
10. Fourierovy řady a transformace,ukázky použití.
11. Laplaceova transformace, pojem konvoluce, gramatika transformace.
12. Zpětná Laplaceova transformace, praktické aplikace
13. Z-transformace, diskrétní systémy, diferenční rovnice.

Učební cíle

Rozšířit znalosti studentů na metody funkcí více proměnných, zejména výpočty a na použití parciálních derivací. Dále seznámit studenty v další části s některými elementárními metodami řešení obyčejných diferenciálních rovnic a umožnit jim získat hlubší vhled do teorie funkcí komplexní proměnné, jejíž metody jsou nezbytnou teoretickou výbavou studenta všech elektrotechnických oborů. Konečně pak poskytnout studentům schopnost řešení obvyklých úloh užitím metod Laplaceovy, Fourierovy a Z-transformace.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Během semestru studenti vypracují hodnocený projekt spočívající v řešení individuálních početních úloh a napíší dvě písemné práce hodnocené učitelem.

Základní literatura

KOLÁŘOVÁ, E., Matematika 2, Sbírka úloh, FEKT VUT v Brně 2009 (CS)
ARAMOVIČ, I. G., LUNC, G. L. a El´SGOLC, L. E., Funkcie komplexnej premennej, operátorový počet, teória stability. Alfa Bratislava 1973. (SK)
SVOBODA, Z., VÍTOVEC, J., Matematika 2, FEKT VUT v Brně 2015 (CS)
Zdeněk Svoboda, Jiří Vítovec: Matematika 2, FEKT VUT v Brně

Doporučená literatura

MELKES, F., ŘEZÁČ, M., Matematika 2, FEKT VUT v Brně 2002 (CS)

Elearning

eLearning: aktuální otevřený kurz

Zařazení předmětu ve studijních plánech

Program BPC-AUD bakalářský
specializace AUDB-TECH , 1 ročník, letní semestr, povinný
specializace AUDB-ZVUK , 1 ročník, letní semestr, povinný
Program BPC-EKT bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný
Program BPC-IBE bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný
Program BPC-MET bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný
Program BPC-SEE bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný
Program BPC-TLI bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný
Program BPC-AMT bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D.
prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc.
doc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc.

Osnova

1. Funkce více proměnných (limita, spojitost). Parciální derivace, gradient.
2. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu (separovatelná rovnice, lineární rovnice, metoda variace konstanty).
3. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty.
4. Funkce komplexní proměnné - transformace komplexní roviny. Základní transcendentní funkce.
5. Derivace komplexní funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce.
6. Integrální počet v komplexním oboru, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec.
7. Laurentova řada, singulární body a jejich klasifikace, pojem rezidua a reziduová věta.
8. Přímá Laplaceova transformace, pojem konvoluce, gramatika transformace.
9. Zpětná Laplaceova transformace, impulzy, elektrické obvody.
10. Fourierovy řady, trigonometrický a exponenciální tvar, základní vlastnosti.
11. Přímá a zpětná Fourierova transformace, souvislost s Laplaceovou transformací, šířka impulzu a šířka spektra.
12. Přímá a zpětná transformace Z.
13. Použití Z transformace při řešení diferenčních rovnic.

Cvičení odborného základu

6 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Mgr. Jiří Vítovec, Ph.D.
doc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc.
Mgr. Josef Rebenda, Ph.D.
doc. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D.
Mgr. Martin Tůma, Ph.D.

Cvičení s počítačovou podporou

14 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Mgr. Martin Tůma, Ph.D.
Mgr. Jiří Vítovec, Ph.D.
Mgr. Josef Rebenda, Ph.D.
doc. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D.
doc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc.

Osnova

Osnova dle přednášky.

Projekt

6 hod., povinná