Detail předmětu

Geometrická teorie řízení

FSI-9GTRAk. rok: 2024/2025

Využití pokročilých partií diferenciální geometrie a teorie reprezentací pro hledání optimálních trajektorií neholonomních systémů. Algebraický pohled na dynamické systémy.

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Předpokládá se pouze znalost matematiky získaná v bakalářském studiu.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Předmět je ukončen písemnou a ústní zkouškou. Písemná část tvoří 80% a ústní část 20% hodnocení.
Výuka se odehrává formou přednášky a není kontrolovaná

Učební cíle

Vybudování základů geometrické teorie řízení. Schopnost aplikace teorie při řešení inženýrských problémů.
Student se naučí využívat pokročilých partií diferenciální geometrie a teorie reprezentací. Pro specifický mechanizmus: sestavení kinematického řetězce, vyřešení diferenciální kinematiky, návrh optimálních trajektorií.

Základní literatura

Enrico Le Donne, Lecture notes on sub-Riemannian geometry, University of Jyväskylä (EN)
L. Zexiang, S. Sastry , R. M. Murray, A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press, 1994. (EN)
Y.L. Sachkov. Control theory on lie groups. J Math Sci, 156(3):381--439, 2009. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D-APM-P doktorský 1 ročník, zimní semestr, doporučený kurs
  • Program D-APM-K doktorský 1 ročník, zimní semestr, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D.

Osnova

1. Lieovy algebry, definice a základní pojmy, příklady (ortogonální, speciální Heisenbergova, aj.), adjungovaná reprezentace, polojednoduché, řešitelné a nilpotentní Lieovy algebry.

2. Algebra řiditelnosti, konfigurační prostor, neholonomní podmínky, diferenciální kinematika, Pffafovský systém, vektorová pole a jejich závorka.

3. Nilpotentni aproximace (symbol). Definice a základní vlastnosti, adaptované a privilegované souřadnice, Bellaicheův algoritmus.

4. Lieovy grupy. Definice, příklady (speciální, ortogonální, spinová,…), Lieova algebra jako tečný prostor Lieovy grupy,

5. Levoinvariatní vektorová pole. Definice, Lieova algebra levoinvariantních vektorových polí, toky vektorových polí, nalezení grupové struktury nilpotentní Lieovy algebry.

6. Sub-Riemanovska (sR) geometrie. Distribuce, sR-metrika, horizontální křivky.

7. Minimální křivky (lokální extremály). PMP pro nilpotentní aproximace, normální a abnormální extremály, sR- Hamiltonián

8. Heisenbergova geometrie. Heisenbergova grupa a algebra. Popis mechanizmu známého jako dubin car.

9. Další struktury na Heisenbergově geometrii. Přehled redukcí strukturní grupy Heisenbergovi geometrie, Lagrangeovská, CR geometrie. Infinitesimální automorfismy

10. Conjungované body. Pevné body infinitesimálních automorfismů. Heisenbergovo jablko.