Detail předmětu

Dynamické systémy a matematické modelování

FSI-SA0Ak. rok: 2025/2026

Předmět seznámí studenty se základy teorie stability, bifurkací a chaosu pro spojité a diskrétní dynamické systémy.   V rámci tohoto předmětu jsou uvedeny také aplikace získaných poznatků při studiu  vybraných problémů z různých technických a přírodovědných oborů.  Studium těchto problémů spočívá v sestavení diferenciální či diferenční rovnice jako matematického modelu, a v následné analýze jeho řešení. 

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných, teorie obyčejných diferenciálních rovnic, lineární algebra.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech
podmínek průběžné kontroly znalostí. 

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška je písemná a ústní, písemná část (60 minut) se skládá z následujících témat:  Stabilita lineárních a nelineárních ODR, bifurkace, chaos, ODR s časovým zpožděním, diferenční rovnice. 

Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemné a ústní části zkoušky (maximálně 100 bodů).
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře (80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).

 


Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.

Učební cíle

Cílem kurzu je seznámit studenty se základy teorie stability, bifurkací a chaosu pro obyčejné diferenciální a diferenční rovnice, včetně rovnic s časovým zpožděním.  Úkolem je naučit studenty aplikovat získané poznatky při matematickém modelování pomocí dynamických rovnic,  včetně analýzy jejich řešení.


V tomto kurzu studenti zvládnou základní metody analýzy stability, bifurkací a chaosu pro obyčejné diferenciální a diferenční rovnice. Jsou také seznámeni se základními postupy matematického modelování pomocí studovaných typů rovnic,  a s metodami kvalitativní analýzy jejich řešení. 

Základní literatura

Fulford, G., Forrester, P., Jones, A.: Modelling with Differential and Difference Equations, New York, 2001. (EN)
Perko, L.: Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1991.  (EN)
Wiggins, S.: Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Berlin, Springer, 1990.  (EN)

Doporučená literatura

Nahin, P.J.: Chases and Escapes: the mathematics of pursuit and evasion, Princeton University Press, Princetion, 2007. (EN)
 Rachůnková, I,  Fišer, J.: Dynamické systémy 1, UP  Olomouc,  2014 (CS)
Strogatz, S.:  Nonlinear Dynamics and Chaos, With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering (Studies in Nonlinearity), Avalon Publishing,  2014 (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-MAI-P bakalářský 2 ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Osnova

1. Stabilita řešení soustav ODR (základní pojmy a vlastnosti).
2. Lineární autonomní soustavy a jejich stabilita, Routhovo-Hurwitzovo kritérium.
3. Nelineární autonomní soustavy, linearizační věta, lokální stabilita řešení.
4. Globální stabilita řešení, Ljapunovova metoda.
5. Limitní množiny, atraktory, periodické orbity.
6. Bifurkace a strukturální stabilita v dimenzi jedna.
7. Bifurkace a strukturální stabilita ve vyšších dimenzích
8. Deterministický chaos, podivný atraktor.
9. ODR s časovým zpožděním (základy teorie).                                        10. Stabilita ODR s časovým zpožděním.                                                    11. Aplikace ODR s časovým zpožděním v teorii řízení (stabilizace, destabilizace, chaotifikace).
12. Diferenční rovnice (základy teorie).
13. Diskrétní logistická rovnice, Šarkovského věta.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Osnova

1. Aplikace ODR v mechanice (základní úlohy).
2. Problém jednoho tělesa, výpočty únikových rychlostí.
3. První Keplerův problém a jeho řešení.
4. Geometrické aplikace ODR (konstrukce křivek se speciálními vlastnostmi, Archimedův problém).
5. Aplikace ODR v hydromechanice
6. Aplikace ODR v hydromechanice (pokračování).                                  7. Základní pronásledovací strategie (Bouguerova úloha).   
8. Dvě speciální úlohy o pronásledování.                                                9. 9. Základní úniková strategie (Baileyův problém) 
10. Základní modely soustav s proměnnou hmotností.
11. ODR modely jednodruhové a vícedruhové populace (bifurkační analýza).
12. Modelování užitím ODR s časovým zpožděním. 
13. Modelování užitím diferenčních rovnic.