Detail předmětu

Matematické metody v teorii proudění

FSI-SMMAk. rok: 2025/2026

Fyzikální základy mechaniky tekutin: zákony zachování hmoty, hybnosti a energie. Vlastnosti hyperbolických rovnic, speciálně Eulerových rovnic popisujících proudění neviskózních stlačitelných tekutin. Numerické modelování Eulerových rovnic metodou konečných objemů a numerické modelování nestlačitelných viskózních tekutin metodou tlakových korekcí (algoritmus SIMPLE).

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Parciální diferenciální rovnice evolučního typu, funkcionální analýza, numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

PODMÍNKY PRO ZÍSKÁNÍ ZÁPOČTU: Účast ve cvičeních, zpracování zadané práce, ve které studenti zúročí poznatky získané na přednáškách. Podmínkou udělení zápočtu je zpracování a prezentace zadané práce.


ZKOUŠKA: je ústní. Za zkoušku student obdrží 0 až 100 bodů.


HODNOCENÍ: se bude odvíjet od získaných bodů u zkoušky.


KLASIFIKACE: 100-90: A (výborně), 89-80: B (velmi dobře), 79-70: C (dobře), 69-60: D (uspokojivě), 59-50: E (dostatečně), 49-0: F (nevyhovující).


Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.

Učební cíle

Předmět slouží jako úvodní seznámení s výpočtovými metodami pro modelování proudění tekutin. Pro stlačitelné proudění je vyložena metoda konečných objemů, pro nestlačitelné proudění metoda tlakových korekcí. Studenti by měli pochopit, že teprve znalost podstatných fyzikálních a matematických aspektů jednotlivých typů proudění jim umožní efektivní volbu vhodné numerické metody resp. odpovídajícího softwarového produktu. Důležitou součástí předmětu je samostatná práce na zadaném projektu.


Studenti se seznámí se základními postupy modelování proudění tekutin: fyzikální zákony, matematická analýza rovnic popisujících proudění tekutin (Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice), volba vhodné numerické metody (která vychází z fyzikální a matematické podstaty rovnic) a počítačové modelování navržené numerické metody (preprocesing = tvorba sítě, numerický řešič, postprocesing = zobrazení žádáných fyzikálních veličin). Získané znalosti si studenti ověří a prohloubí zpracováním zadaného projektu.

Základní literatura

E.F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, A Practical Introduction, Springer, Berlin, 1999. (EN)
J.H. Ferziger, M. Peric: Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag, New York, 2002. (EN)
K. H. Versteeg, W. Malalasekera: An Introduction to Computational Fluid Dynamics, Pearson Prentice Hall, Harlow, 2007. (EN)
M. Feistauer, J. Felcman, I. Straškraba: Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow, Oxford University Press, Oxford, 2003 (EN)
V. Dolejší, M. Feistauer: Discontinuous Galerkin Method, Springer, Heidelberg, 2016. (EN)

Doporučená literatura

L. Čermák: Výpočtové metody dynamiky tekutin, dostupné na http://mathonline.fme.vutbr.cz/

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-MAI-P magisterský navazující 2 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.

Osnova

1. Materiálová derivace, transportní věta, zákony zachování hmoty a hybností.
2. Zákon zachování energie, konstituční vztahy, stavové rovnice.
3. Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice, počáteční a okrajové podmínky.
4. Hyperbolický systém a příklady hyberbolických systémů
5. Klasické řešení hyperbolického systému.
6. Slabé řešení hyperbolického systému, nespojitosti v řešení.
7. Riemannův problém pro lineární a nelineární úlohu, klasifikace vln.
8. Metoda konečných objemů, časová a prostorová diskretizace.
9. Lokální chyba, stabilita, konvergence numerické metody.
10. Godunovova metoda, Riemannův numerický tok
11. Další numerické toky Godunova typu.
12. Okrajové podmínky, metody druhého řádu.
13. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na pravidelné obdélníkové síti.

Cvičení s počítačovou podporou

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.

Osnova

Ukázky řešení vybraných modelových úloh na počítači. Vypracování semestrální práce.