Detail předmětu

Numerické metody III

FSI-SN3Ak. rok: 2025/2026

V předmětu Numerické metody III je představena metoda konečných prvků jako nástroj k přibližnému řešení diferenciálních rovnic. V kurzu jsou probírány matematické základy metody konečných prvků i implementace vybraných algoritmů.

Velká pozornost je věnována matematické podstatě metody, zejména slabé formulaci diferenciálních rovnic, Galerkinově metodě a analýze diskretizačních chyb. Ukázány jsou různé typy konečných prvků.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných. Základy funkcionální analýzy, parciální diferenciální rovnice. Numerické metody, zejména interpolace, integrace a řešení soustav ODR. Programování v prostředí MATLAB.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Podmínkou pro udělení zápočtu je zpracování zadaných projektů.

Zkouška je ústní. Jejím cíle je ověření teoretických znalostí studenta a jeho schopnosti získané poznatky samostatně a tvůrčím způsobem aplikovat.

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty s matematickými základy metody konečných prvků a pochopení algoritmizace a standardních programátorských technik používaných při její implementaci.


V předmětu Numerické metody III studenti získají základní znalosti o metodě konečných prvků a její matematické podstatě a použijí tyto znalosti v několika samostatných projektech.

Základní literatura

A. Ern, J.-L. Guermond: Theory and Practice of Finite Elements, Springer Series in Applied Mathematical Sciences, Vol. 159 (2004) 530 p., Springer-Verlag, New York (EN)
K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo, C. Johnson: Computational Differential Equations, Cambridge University Press, 1996. (EN)
L. Čermák: Algoritmy metody konečných prvků, [on-line], available from: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-III/sc-1151-sr-1-a-142/default.aspx. (CS)
M. G. Larson, F. Bengzon: The Finite Element Method: Theory, Implementation, and Applications, Springer, 2013. (EN)
A. Ženíšek: Matematické základy metody konečných prvků, [on-line], available from: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-III/sc-1151-sr-1-a-142/default.aspx. (CS)
M. S. Gockenbach: Understanding and implementing the finite element method. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2006. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-MAI-P magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Osnova

Metoda konečných prvků v 1D:

  • slabá formulace,
  • konečněprvková aproximace,
  • sestavení soustavy lineárních rovnic,
  • implementace,
  • Galerkinova ortogonalita, věta o nejlepší aproximaci,
  • apriorní odhady chyb,
  • aposteriorní odhady chyb a adaptivní metody.

Metoda konečných prvků ve 2D:

  • slabá formulace,
  • konečněprvková aproximace,
  • sestavení soustavy lineárních rovnic,
  • isoparametrické prvky,
  • různé typy konečných prvků,
  • implementace (struktura dat, generování sítí).

Problémy vlastních čísel

Časově závislé úlohy

Cvičení s počítačovou podporou

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Osnova

Obsah cvičení navazuje na přednášky. Studenti pod vedením cvičícího pracují na zadaných projektech.