Detail předmětu

Obecná algebra

FSI-SOAAk. rok: 2025/2026

V předmětu budou probrány základy moderní algebry. Budou popsány obecné vlastnosti a konstrukce univerzálních algeber, jako podalgebry,  homomorfismy a faktorizace. Podrobně pak budou studovány jednotlivé algebraických struktury, tj. grupoidy, pologrupy, monoidy, grupy, okruhy, obory integrity a tělesa. Zvláštní pozornost bude věnována především grupám, okruhům (zejména okruhu polynomů), oborům integrity (včetně dělitelnosti) a konečným (Galoisovým) tělesům.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Předpokládají se znalosti lineární algebry z prvního semestru bakalářského studia.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Podmínkou pro zápočet je aktivní účast ve cvičeních a prokázání znalostí při písemných testech, které budou průběžně konány. V písemné části zkoušky je třeba prokázat schopnost řešit zadaný problém na základě získaných vědomostí, v její ústní části pan zvládnutí probrané teorie.


Účast na cvičeních bude pravidelně kontrolována. Omluvená neúčast bude nahrazována zadáním samostatné práce tak, aby student mohl zameškanou látku zvládnout.

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy moderní algebry, tj. se základními algebraickými strukturami a jejich vlastnostmi. Tyto struktury se často vyskytují v nejrůznějších aplikacích, zejméne technických, a jejich znalost je proto pro absolventy oboru matematické inženýrství nezbytná.

Studenti získají základní vědomosti o obecné algebře. Tyto vědomosti jim umožní uvědomit si mnohé matematické souvislosti, a proto hlouběji pochopit různá odvětví matematiky. Především však získají užitečné nástroje k nejrůznějším aplikacím, se kterými se mohou v budoucnu ve své praxi setkat.

Základní literatura

G.Gratzer: Universal Algebra, Princeton, 1968 (EN)
J. Karásek and L. Skula, Obecná algebra (skriptum), Akademické nakladatelství CERM, Brno 2008 (CS)
J.Šlapal, Základy obecné algebry (skriptum), Akademické nakladatelství CERM, Brno 2022. (CS)
Procházka a kol., Algebra, Academia, Praha, 1990 (CS)
S.Lang, Undergraduate Algebra, Springer-Verlag,1990 (EN)
S.MacLane, G.Birkhoff: Algebra, Alfa, Bratislava, 1973 (EN)

Doporučená literatura

A.G.Kuroš, Kapitoly z obecné algebry, Academia, Praha, 1977
L.Procházka a kol.: Algebra, Academia, Praha, 1990
S. Lang, Undergraduate Algebra (2nd Ed.), Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg, 1990 (EN)
S. MacLane a G. Birkhoff, Algebra, Vyd. tech. a ekon. lit., Bratislava, 1973 (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-MAI-P bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný

  • Program MITAI magisterský navazující

    specializace NMAT , 0 ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.

Osnova

1. Operace a zákony, pojem univerzální algebry
2. Některé důležité typy algeber, základy teorie grup
3. Podalgebry, rozklad grupy podle podgrupy
4. Homomorfismy a izomorfismy
5. Kongruence a faktorové algebry
6. Kongruence na grupách a okruzích
7. Přímé součiny algeber
8. Okruh polynomů
9. Obory integrity a dělitelnost, Gaussovy okruhy
10. Okruhy hlavních ideálů a Euklidovy okruhy
11. Podílová pole oboru integrity a minimální pole,
12.Kořenová pole a rozšíření pole
13. Rozkladová pole a Galoisova pole

Cvičení

22 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.

Osnova

1. Operace a zákony, pojem univerzální algebry
2. Některé důležité typy algeber, základy teorie grup
3. Podalgebry, rozklad grupy podle podgrupy
4. Homomorfismy a izomorfismy
5. Kongruence a faktorové algebry
6 Kongruence na grupách a okruzích
7. Přímé součiny algeber
8. Okruh polynomů
9. Obory integrity a dělitelnost, Gaussovy okruhy
10. Okruhy hlavních ideálů a Euklidovy okruhy
11. Podílová pole oboru integrity a minimální pole,
12.Kořenová pole a rozšíření pole
13. Rozkladová pole a Galoisova pole

Cvičení s počítačovou podporou

4 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.

Osnova

1. Užití programu Maple pro počítání úloh obecné algebry
2. Užití programu Mathematica pro počítání úloh obecné algebry